Equalizador (teoria das categorias)

Diagrama do Equalizador

Um equalizador é uma construção de Teoria das categorias.

Dado um par de morfismos $f:a\rightarrow b$ e $g:a\rightarrow b$ de uma categoria C, um equalizador de $f$ e $g$ é um par $(e,i)$, $e$ objeto de C e $i:e\rightarrow a$ morfismo, tal que:

1. $f\circ i=g\circ i$;
2. Para todo $h:c\rightarrow a$, $f\circ h=g\circ h$ implica que existe um único $k:c\rightarrow e$ tal que $i\circ k=h$.

Chamamos $h$ de pré-equalizador. O conceito dual do equalizador é o coequalizador.

Sendo um caso particular do limite em teoria das categorias, equalizadores (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.

Exemplos

• Na categoria dos conjuntos ${\mathsf {Set}}$, o equalizador de $f:a\to b,\,g:a\to b$ é o conjunto $e=\{x\in a|f(x)=g(x)\}$, enquanto que $i:e\to a$ é a inclusão. Na categoria dos espaços topológicos, dos grupos, e outras, o equalizador tem mesma descrição, com estrutura topológica ou algébrica adicional.

Propriedades

O morfismo $i:e\to a$ no diagrama de equalizador é sempre monomorfismo.

Há também o conceito de equalizador de um conjunto arbitrário de morfismos de mesmo domínio e contradomínio.

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo

Bibliografia

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.] 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• Paulo Blauth Menezes & Edward Hermann Haeusler, Teoria das categorias para ciência da computação, Porto Alegre, Editora Sagra-Luzzatto.