Functor

Functor, em Teoria das categorias, é um mapeamento entre categorias que preserva estruturas. Os functores podem ser entendidos como homomorfismos na categoria de todas as categorias pequenas (ou seja, a categoria que tem como objetos todas as categorias compostas por objetos que são conjuntos).

Um functor (covariante) $F$ da categoria C para a categoria D:

1. associa para cada objeto $x$ em C um objeto $F(x)$ em D;
2. associa para cada morfismo $f : x \rightarrow y$ um morfismo $F(f):F(x)\rightarrow F(y)$

tal que as seguintes propriedades valem:

1. $F(id_x)=id_{F(x)}$
2. $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ para todos os morfismos $f:x\rightarrow y$ e $g:y\rightarrow z$.

Functor contravariante

Algumas construções na matemática usam mapeamentos semelhantes a functores, porém que invertem os morfismos. Estes são definidos como functores contravariantes, e tem as propriedades:

F de C para D é um functor contravariante quando:

• F associa a cada objeto $X \in C$ um objeto $F(X) \in D,$
• F associa a cada morfismo $f:X\rightarrow Y \in C$ um morfismo $F(f):F(Y) \rightarrow F(X) \in D$
• $F(id_X) = id_{F(X)}$ para todo objeto $X \in C$,
• $F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)$ para todos morfismos $f:X\rightarrow Y$ e $g:Y\rightarrow Z.$

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

Bibliografia

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• Asperti, Longo, "Categories, Types, and Structures", The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.

Teoria das categorias

Conceitos e construções categoriais:
Objeto | Morfismo | Categoria | Objeto inicial | Objeto terminal
Monomorfismo | Epimorfismo | Isomorfismo | Limite | Colimite
Produto categorial | Coproduto categorial | Equalizador | Coequalizador
Produto fibrado | Soma amalgamada | Cone | Cocone | Functor
Transformação natural | Objeto exponencial | Adjunção