Produto categorial

Diagrama comutativo do produto categorial

O produto categorial é uma generalização categorial do produto cartesiano.

Seja C uma categoria e sejam $a$ e $b$ dois objetos da categoria C. O produto categorial de $a$ e $b$ é um objeto $a\times b$, junto a dois morfismos $p_{a}:a\times b\rightarrow a$ e $p_{b}:a\times b\rightarrow b$, tal que para qualquer objeto $c$ da categoria e para quaisquer morfismos $f:c\rightarrow a$ e $g:c\rightarrow b$ existe exatamente um $h:c\rightarrow a\times b$ tal que o diagrama da figura ao lado comuta, isto é:

$$\left\{{\begin{array}{l}p_{a}\circ h=f\\p_{b}\circ h=g\end{array}}\right..$$

Os morfismos $p_{a}$ e $p_{b}$ são chamados projeções. Podemos chamar o objeto $c$ junto com as setas $f$ e $g$ de pré-produto.

Sendo um caso particular do limite em teoria das categorias, produtos (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.

Exemplos

• O produto na categoria ${\mathsf {Set}}$ dos conjuntos coicide com o produto cartesiano usual.
• O produto na categoria ${\mathsf {Top}}$ dos espaços topológicos é o produto cartesiano com a topologia produto.

Produtos de maior aridade

Pode-se considerar produtos para mais do que dois objetos. Seja $\{a_{i}\}_{i\in I}$ família de objetos em $C$. Um produto dessa família é um objeto $\prod _{i\in I}{a_{i}}$, junto a uma família de morfismos $p_{j}:\prod _{i}{a_{i}}\to a_{j}$, tal que, para cada outra família de morfismos $\{f_{j}:c\to a_{j}\}_{j\in I}$, há único $f:c\to \prod _{i}{a_{i}}$ com $p_{j}\circ f=f_{j}$ para cada índice $j\in I$.

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• «Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani» (PDF) 

Bibliografia

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• Asperti, Longo, "Categories, Types, and Structures", The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.