Transformação natural (teoria das categorias)

Na matemática, mais precisamente teoria das categorias, uma transformação natural entre functores paralelos $F,G:C\rightarrow D$ é uma coleção de morfismos $F(X)\rightarrow G(X)$ satisfazendo certas condições. O conceito pode ser usado para dar um significado rigoroso a expressões como "natural" e "canônico".

Definição

Se $F,G$ são functores entre categorias $C$ e $D$, uma transformação natural $\eta :F{\dot {\rightarrow }}G$ é uma família de morfismos $\eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)$ para cada objeto $X$ de $C$, chamados componentes, satisfazendo, para cada morfismo $f:X\rightarrow Y$ em $C$ a condição de naturalidade:

$$\eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}.$$

Pode-se expressar essa igualdade como o diagrama comutativo:

Quando isso vale, diz-se que $\eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)$ é natural em $X$; essa expressão deixa implícita a ação dos functores nos morfismos da categoria C. As notações $\eta :F\Rightarrow G$ e $\eta :F\rightsquigarrow G$ também são usadas.

Um isomorfismo natural é uma transformação natural cujas componentes são isomorfismos.

Categorias de functores

Dadas categorias $C,D$, temos a categoria dos functores $D^{C}$, cujos objetos são os functores $C\rightarrow D$, e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.

Composições vertical e horizontal

A composição de morfismos em $D^{C}$ é chamada composição vertical; dadas transformações naturais $\sigma :F{\dot {\rightarrow }}G$, $\tau :G{\dot {\rightarrow }}H$, temos que $\tau \cdot \sigma$ tem componentes

$$(\tau \cdot \sigma )_{X}=\tau _{X}\circ \sigma _{X}$$

Também há a composição horizontal; dadas transformações naturais $\tau :S{\dot {\rightarrow }}T$, $\tau ':S'{\dot {\rightarrow }}T'$, temos que $\tau '\circ \tau :S'S{\dot {\rightarrow }}T'T$ tem componentes

$$(\tau '\circ \tau )_{X}=T'(\tau _{X})\circ \tau '_{S(X)}=\tau '_{T(X)}\circ S'(\tau _{X})$$

A segunda igualdade acima é consequência da condição de naturalidade.

Há seguinte relação entre os dois tipos de composição: $(\tau '\cdot \sigma ')\circ (\tau \cdot \sigma )=(\tau '\circ \tau )\cdot (\sigma '\circ \sigma )$.

Exemplos

• Há morfismo natural de cada espaço vetorial (sobre um corpo qualquer) ao espaço dual de seu dual. Mais precisamente, os mapeamentos ap_V : V → V^∗∗, para cada espaço vetorial V, definidos por ap_V(v) = (f ∈ V^∗) ↦ f(v), formam uma transformação natural 1 ⇒ (_)^∗∗; a condição de naturalidade refere-se à igualdade
  $$\phi ^{\ast \ast }\circ \mathrm {ap} _{V}=\mathrm {ap} _{W}\circ \phi$$
  para cada mapeamento linear φ : V → W, onde φ^∗∗(Λ ∈ V^∗∗) = (g ∈ W^∗) ↦ Λ(g ∘ φ).
• A única transformação natural 1 ⇒ F, em que F é o functor na categoria dos espaços vetoriais definido por
  $$F(V\xrightarrow {\phi } W)=V\otimes V\xrightarrow {v\otimes v'\mapsto \phi (v)\otimes \phi (v')} W\otimes W$$
  em que $\otimes$ denota o produto tensorial, é aquela cujas componentes são os mapeamentos nulos. Intuitivamente, qualquer definição de mapeamento linear não nulo V → V ⊗ V "depende" de um base para V, logo não pode ser feita naturalmente para todos os espaços vetoriais.
• Avaliação de funções em elementos de um conjunto fixo S é uma transformação natural. Mais precisamente, denotando-se por X^S o conjunto de funções S → X, as avaliações e_X : X^S × S → X, para cada X conjunto, definidas por e_X(h, s) = h(s), formam uma transformação natural (_)^S × S ⇒ 1.
• O teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani pode ser expressado como um isomorfismo natural entre functores levando espaços compactos de Hausdorff a espaços de Banach.

Bibliografia

• MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8 
• ALUFFI, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. Col: Graduate Studies in Mathematics 1 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4781-7 
• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]