Espaço compacto

Em topologia, a compacidade é um conceito relacionado com a pequenez de um conjunto. De facto, qualquer conjunto finito é compacto.

Definição

Um espaço topológico diz-se compacto se qualquer sua cobertura aberta admitir uma subcobertura finita.

Explicitamente, isso significa que se $A_{\lambda}\,$ é qualquer coleção de abertos do espaço X indexados por um conjunto de índices $\lambda \in \Lambda\,$ tal que $X \subseteq \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}\,$, então existe um subconjunto finito $I \subseteq \Lambda\,$ tal que $X \subseteq \bigcup_{i \in I} A_i = A_{\lambda_1} \cup A_{\lambda_2} \cup \ldots A_{\lambda_n}\,$.

Compacidade em $\R^n$

O teorema de Heine-Borel afirma que um subconjunto de $\R^n$ é compacto se e somente se for fechado e limitado.

O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece que um subconjunto de $\R^n$ é seqüencialmente compacto se e somente se for fechado e limitado.

Estes dois teoremas dizem que um conjunto é compacto em $\R^n$ se e somente se toda seqüência dele extraída possuir uma subseqüência que converge para um ponto do subconjunto.

Propriedades

• A imagem de um espaço compacto por uma função contínua é compacta.
• Um subespaço fechado de um compacto é compacto.
• Um subespaço compacto de um espaço de Hausdorff é fechado.
• O produto de espaços compactos é compacto (para produtos infinitos, esta propriedade é equivalente ao axioma da escolha; este é o teorema de Tychonoff, cuja demonstração não é trivial).

Ver também

• Espaço seqüencialmente compacto