Espaço compacto
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Em topologia, a compacidade é um conceito relacionado a regularidade das funções contínuas defindas sobre o conjunto. Assim as funções contínuas definidas sobre compactos da reta, ou do Rn, são limitadas e uniformemente contínuas.
A ideia de conjunto compacto surgiu nos estudos de topologia da reta e do R^n, onde a as definições abaixo de compacto são equivalentes à mais comum limitado e fechado. Essa equivalência é assegurada pelo teorema de Heine-Borel e pela equivalência entre as definições de compacidade métrica e topológica.
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[editar] Definição Métrica
Um espaço métrico é dito compacto se para toda sequência (xn) existe uma subsequência (xnk) convergente.
[editar] Definição Topológica
Um espaço topológico diz-se compacto se qualquer sua cobertura aberta admitir uma subcobertura finita.
Explicitamente, isso significa que se
é qualquer coleção de abertos do espaço
indexados por um conjunto de índices
tal que
, então existe um subconjunto finito
tal que
.
[editar] Compacidade em 
- O teorema de Heine-Borel afirma que um subconjunto de
é compacto se e somente se for fechado e limitado. - O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece que um subconjunto de
é seqüencialmente compacto se e somente se for fechado e limitado.
Estes dois teoremas dizem que um conjunto é compacto em
se e somente se toda seqüência dele extraída possuir uma subseqüência de converge para um ponto do subconjunto.
[editar] Propriedades
- A imagem de um espaço compacto por uma função contínua é compacta.
- Um subespaço fechado de um compacto é compacto.
- Um subespaço compacto de um espaço de Hausdorff é fechado.
- O produto de espaços compactos é compacto (para produtos infinitos, esta propriedade é equivalente ao axioma da escolha; este é o teorema de Tychonoff, cuja demonstração não é trivial).

