Espaço compacto

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Em topologia, a compacidade é um conceito relacionado a regularidade das funções contínuas defindas sobre o conjunto. Assim as funções contínuas definidas sobre compactos da reta, ou do Rn, são limitadas e uniformemente contínuas.

A ideia de conjunto compacto surgiu nos estudos de topologia da reta e do R^n, onde a as definições abaixo de compacto são equivalentes à mais comum limitado e fechado. Essa equivalência é assegurada pelo teorema de Heine-Borel e pela equivalência entre as definições de compacidade métrica e topológica.


Índice

[editar] Definição Métrica

Um espaço métrico é dito compacto se para toda sequência (xn) existe uma subsequência (xnk) convergente.

[editar] Definição Topológica

Um espaço topológico diz-se compacto se qualquer sua cobertura aberta admitir uma subcobertura finita.

Explicitamente, isso significa que se A_{\lambda}\, é qualquer coleção de abertos do espaço X\, indexados por um conjunto de índices \lambda \in \Lambda\, tal que X = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}\,, então existe um subconjunto finito I \subseteq \Lambda\, tal que X = \bigcup_{i \in I} A_i = A_{\lambda_1} \cup A_{\lambda_2} \cup \ldots A_{\lambda_n}\,.

[editar] Compacidade em \R^n

O teorema de Heine-Borel afirma que um subconjunto de \R^n é compacto se e somente se for fechado e limitado.
O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece que um subconjunto de \R^n é seqüencialmente compacto se e somente se for fechado e limitado.

Estes dois teoremas dizem que um conjunto é compacto em \R^n se e somente se toda seqüência dele extraída possuir uma subseqüência de converge para um ponto do subconjunto.

[editar] Propriedades

[editar] Ver também


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