Espaço compacto

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Em matemática, mais especificamente em topologia geral, o conceito de compacidade é uma extensão topológica das ideias de finitude e limitação. O início do estudo de espaços compactos se deu no final do século XIX, pelas mãos de Émile Borel e Henri Lebesgue e as observações acerca de intervalos fechados e limitados da reta real. Com o advento de novas classes de espaços topológicos (espaços de funções, espaços definidos em termos de vizinhanças e espaços métricos) a noção de compacidade modificou-se para acompanhar as generalizações; passando por sequencialmente compacto, enumeravelmente compacto (Riesz - 1908, Vietoris - 1912, Janiszewski - 1913, Kuratowski, Sierpiński e Saks - 1921) e finalmente chegando na definição empregada hoje (Alexandrof e Urysohn - 1923).

Definição e Equivalências[editar | editar código-fonte]

Um recobrimento para um conjunto X é uma coleção \mathcal{R} de subconjuntos de X tal que \bigcup \mathcal{R} = X. Um subrecobrimento de \mathcal{R} é uma coleção \mathcal{S}\subseteq\mathcal{R} que também é um recobrimento de X, i.e. \bigcup\mathcal{S} = X.

Diz-se que um espaço topológico X é compacto se possuir a propriedade de Hausdorff e qualquer recobrimento por abertos de X admitir um subrecobrimento finito. O leitor deve estar atento que a escola americana define espaço compacto como espaços em que todo recobrimento por abertos (do espaço em questão) admite subrecobrimento finito, o que é chamado de quase-compacto. A definição usando a Espaço Hausdorff é uma característica das escolas francesa, polonesa e russa.

Uma família \mathcal{F} de subconjuntos de um conjunto X possui a propriedade da intersecção finita (abreviadamente, p.i.f.) se, para qualquer \mathcal{F}_0\subseteq\mathcal{F} finita, verificar \bigcap\mathcal{F}_0 \neq\emptyset . É passivo de verificação que, um espaço topológico X é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer família de fechados de X com a p.i.f. possuir intersecção não vazia.

Uma base para um espaço topológico X é uma coleção de abertos \mathcal{A} de X tal que, para qualquer aberto U\subseteq X, existe \mathcal{B}_U\subseteq \mathcal{B} tal que U = \bigcup \mathcal{B}_U. Uma subbase para X é uma coleção \mathcal{S} não-vazia de abertos desse espaço tal que

\left\{ \bigcap \mathcal{S}_0 : \mathcal{S}_0\subseteq \mathcal{S} \text{ e } \mathcal{S}_0\text{ é finita e não-vazia}\right\}

é uma base de X. É um resultado devido a James Waddell Alexander II que um espaço topológico X é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer recobrimento de X por abertos de uma subbase desse espaço admitir um subrecobrimento finito.

Se X é um espaço topológico, diz-se que um ponto x\in X é um ponto de acumulação total de um subconjunto A\subseteq X se, dada qualquer vizinhança U\subseteq X de x, |A\cap U| = |A|. É um resultado devido a Vietoris, Kuratowski, Sierpinski, Alexandroff e Urysohn que as seguintes afirmações são equivalentes

  • X é compacto;
  • Qualquer subconjunto infinito de X possui um ponto de acumulação completo;
  • Dada qualquer sequência transfinita \subseteq-decrescente \langle F_\lambda \rangle_{\lambda <\alpha} de fechados não-vazios de X, a intersecção \bigcap_{\lambda < \alpha} F_\lambda é não-vazia.

É um resultado devido a Kuratowski, Mrówka e Bourbaki que as seguintes afirmações, acerca do espaço X, são equivalentes:

  • X é (quase-)compacto;
  • Para qualquer espaço Y a projeção p: X\times Y \to Y é fechada;
  • Para qualquer espaço normal Y a projeção p: X\times Y \to Y é fechada.

Em termos de convergência em um espaço Hausdorff X, é possível observar a equivalência das seguintes afirmações:

  • X é (quase-)compacto;
  • Qualquer filtro em X admitir um ponto de acumulação;
  • Qualquer rede em X admitir um ponto de acumulação.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Qualquer espaço finito é quase-compacto;
  • Qualquer espaço carregando topologia cofinita é quase-compacto.
  • A topologia de ordem direita e a topologia de ordem esquerda em um conjunto totalmente ordenado e limitado são (quase-)compactas.
  • Qualquer fechado e limitado de um espaço euclididano é compacto.
  • Qualquer compacto da Reta de Sorgenfray é enumerável.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Qualquer fechado em espaço quase-compacto é quase-compacto;
  • Qualquer compacto é um espaço normal;
  • Todo subspaço compacto de um espaço Hausdorff é fechado;
  • Uma imagem contínua de espaços compactos é compacto.
  • Toda bijeção contínua de um espaço compacto em um espaço Hausdorff é um homeomorfismo;
  • A união finita de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.
  • (Teorema de Tychonoff) O produto qualquer de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN-10: 3885380064.
  • Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).

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