Espaço compacto

Em topologia, a compacidade é um conceito relacionado com a pequenez de um conjunto. De facto, qualquer conjunto finito é compacto.

Definição

Um espaço topológico diz-se compacto se possuir a propriedade de Hausdorff e qualquer cobertura por abertos admitir uma subcobertura finita, i.e, se $\mathcal{A}$ é qualquer coleção de abertos do espaço X e $X \subseteq \bigcup \mathcal{A}$, então existe um subconjunto finito $\mathcal{A}_0\subseteq\mathcal{A}$ tal que $X \subseteq \bigcup\mathcal{A}_0$.

O leitor deve estar atento ao fato de que grande parte dos autores não exigem que o espaço tenha a propriedade de Hausdorff na definição de compacto. Espaços que só possuem a propriedade de que todo recobrimento aberto possuir um sub-recobrimento finito são ditos quase-compactos.

Equivalências

Dado um conjunto $X$, diz-se que uma família não-vazia $\mathcal{F}$ de subconjuntos de $X$ possui a propriedade da intersecção finita (P.I.F.) se quaquer intersecção finita de elementos de $\mathcal{F}$ for não-vazia.

• [Riesz, Vietoris, Alexandroff] Um espaço de Hausdorff $X$ é compacto se, e somente se toda família não-vazia de fechados possuíndo a P.I.F. ter intersecção não vazia (a propriedade de Hausdorff pode ser retirada para a classificação de quase-compactos).
• Um espaço de Hausdorff $X$ é compacto se, e somente se, toda rede em $X$ admitir ponto de acumulação.
• Um espaço de Hausdorff $X$ é compacto se, e somente se, todo filtro em $X$ admitir ponto de acumulação.
• [Alexander] Um espaço de Hausdorff $X$ é compacto se, e somente se, toda cobertura por abertos de uma subbase de $X$ admitir subcobertura finita.

Propriedades

• [Alexandroff] Todo subsepaço fechado de um espaço compacto é compacto (Tal resultado vale para espaços quase-compactos).
• Todos espaço compacto é um espaço normal.
• Imagem contínua de compactos é um compacto.
• Toda sobrejeção contínua de um compacto sobre um Hausdorff é uma função fechada.

Ver também

• Espaço seqüencialmente compacto

Referências

• Rysxard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN-10: 3885380064.

• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).

• Kelley, John L.. General Topology. [S.l.]: Springer-Verlag, 1975. ISBN 0-387-90125-6

• Munkres, James R. (2000), Topology, Prentice Hall, Incorporated, ISBN 9780131816299 .