Espaço compacto

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Em topologia, a compacidade é um conceito relacionado com a pequenez de um conjunto. De facto, qualquer conjunto finito é compacto.

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Definição[editar]

Um espaço topológico diz-se compacto se possuir a propriedade de Hausdorff e qualquer cobertura por abertos admitir uma subcobertura finita, i.e, se \mathcal{A} é qualquer coleção de abertos do espaço X e X \subseteq \bigcup \mathcal{A}, então existe um subconjunto finito \mathcal{A}_0\subseteq\mathcal{A} tal que X \subseteq \bigcup\mathcal{A}_0.

O leitor deve estar atento ao fato de que grande parte dos autores não exigem que o espaço tenha a propriedade de Hausdorff na definição de compacto. Espaços que só possuem a propriedade de que todo recobrimento aberto possuir um sub-recobrimento finito são ditos quase-compactos.

Equivalências[editar]

Dado um conjunto X, diz-se que uma família não-vazia \mathcal{F} de subconjuntos de X possui a propriedade da intersecção finita (P.I.F.) se quaquer intersecção finita de elementos de \mathcal{F} for não-vazia.

  • [Riesz, Vietoris, Alexandroff] Um espaço de Hausdorff X é compacto se, e somente se toda família não-vazia de fechados possuíndo a P.I.F. ter intersecção não vazia (a propriedade de Hausdorff pode ser retirada para a classificação de quase-compactos).
  • Um espaço de Hausdorff X é compacto se, e somente se, toda rede em X admitir ponto de acumulação.
  • Um espaço de Hausdorff X é compacto se, e somente se, todo filtro em X admitir ponto de acumulação.
  • [Alexander] Um espaço de Hausdorff X é compacto se, e somente se, toda cobertura por abertos de uma subbase de X admitir subcobertura finita.

Propriedades[editar]

  • [Alexandroff] Todo subsepaço fechado de um espaço compacto é compacto (Tal resultado vale para espaços quase-compactos).
  • Todos espaço compacto é um espaço normal.
  • Imagem contínua de compactos é um compacto.
  • Toda sobrejeção contínua de um compacto sobre um Hausdorff é uma função fechada.

Ver também[editar]

Referências[editar]

  • Rysxard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN-10: 3885380064.
  • Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
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