Espaço normal

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Em topologia, e ramos relacionados da matemática, um espaço topológico X é dito normal caso ele satisfaça a seguinte propriedade de separação:

Para todo par de fechados disjuntos E e F em X existem abertos disjuntos U e V de forma que E \subset U e F \subset V.

Dizemos também que X separa fechados.

Quando X é normal e Hausdorff, diz-se que X é um espaço T4.

Os conjuntos fechados E e F, aqui representados por discos fechados em lados opostos da figura, estão separados pelas suas respectivas vizinhanças U e V, aqui representadas por discos maiores, abertos e disjuntos.

Exemplos de espaços topológicos normais[editar | editar código-fonte]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Todo espaço topológico normal X possui "muitas aplicações contínuas a valores reais". Esta afirmação pode ser formalizada pelo lema de Urysohn: Sejam A,B \subset X dois subconjuntos fechados e disjuntos. Então existe f:X \rightarrow [0,1] aplicação contínua tal que f(x)=1, para todo x \in A e f(x)=0, para todo x \in B.

De forma mais geral, temos o lema da extensão de Tietze:

Seja X um espaço topológico normal. Se f:A \rightarrow [0,1] é uma aplicação contínua, onde A \subset X é fechado, então existe uma extensão contínua de f com domínio em X, isto é; existe F:X \rightarrow [0,1] contínua tal que F(x)=f(x), para todo x \in A.