Espaço normal

Em topologia, e ramos relacionados da matemática, um espaço topológico $X$ é dito normal caso ele satisfaça a seguinte propriedade de separação:

Para todo par de fechados disjuntos $E$ e $F$ em $X$ existem abertos disjuntos $U$ e $V$ de forma que $E \subset U$ e $F \subset V$.

Dizemos também que $X$ separa fechados.

Quando X é normal e Hausdorff, diz-se que X é um espaço T₄.

Os conjuntos fechados E e F, aqui representados por discos fechados em lados opostos da figura, estão separados pelas suas respectivas vizinhanças U e V, aqui representadas por discos maiores, abertos e disjuntos.

Exemplos de espaços topológicos normais

• Na análise matemática, a maior parte dos espaços encontrados são normais, posto que qualquer espaço métrico é normal.
• Um espaço X com a topologia grosseira ou com a topologia discreta é normal (trivial: todo fechado é aberto nestas topologias)
• Qualquer espaço compacto e Hausdorff é normal.
• Todo espaço paracompacto e Hausdorff é normal, assim como todo espaço regular e paracompacto.
• Toda variedade topológica paracompacta é normal. No entanto, existem variedades topológicas que não são paracompactas e tampouco normais.

Propriedades

Todo espaço topológico normal $X$ possui "muitas aplicações contínuas a valores reais". Esta afirmação pode ser formalizada pelo lema de Urysohn: Sejam $A,B \subset X$ dois subconjuntos fechados e disjuntos. Então existe $f:X \rightarrow [0,1]$ aplicação contínua tal que $f(x)=1$, para todo $x \in A$ e $f(x)=0$, para todo $x \in B$.

De forma mais geral, temos o lema da extensão de Tietze:

Seja $X$ um espaço topológico normal. Se $f:A \rightarrow [0,1]$ é uma aplicação contínua, onde $A \subset X$ é fechado, então existe uma extensão contínua de $f$ com domínio em $X$, isto é; existe $F:X \rightarrow [0,1]$ contínua tal que $F(x)=f(x)$, para todo $x \in A$.