Lema de Urysohn

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O lema de Urysohn é um importante resultado em matemática, mais especificamente em topologia; demonstrado pela primeira vez pelo matemático russo Pavel Samuilovich Urysohn, afirma que se um espaço topológico é normal, então quaisquer fechados disjuntos em tais espaços podem ser separados por uma função.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

O enunciado do Lema de Urysohn, provado pelo próprio em 1925, diz que se  \langle X,\tau \rangle é um espaço topológico normal; dados os \tau-fechados e disjuntos A,B\subseteq X, existe uma função contínua f: X\to [0,1] tal que f(A)\subseteq \{0\} e f(B)\subseteq \{1\}. Tal função é chamada função de Urysohn

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Considere o conjunto S dos racionais em [0,1], isto é

S = [0,1]\cap \mathbb{Q} = \{s_{0}=0,s_{1}=1,\dots,s_{n},\dots\}.

Dados os fechados A e B, definimos uma seqüência de abertos indexados em S tais que

U_{s_{i}}\subseteq U_{s_{j}}

sempre que s_{i} < s_{j}, para quaisquer i,j\in\omega. Para isso, tome o aberto X\setminus B. Como X é normal, existe um aberto U_{0} tal que

A\subseteq U_{0} \subseteq \overline{U}_{0}\subseteq X\setminus B.

Defina  U_{s_{1}} = X\setminus B. Tome s_{2}\in S\setminus \{0,1\}, temos que 0 < s_{2} < 1. Portanto podemos escolher um \tau-aberto U_{s_{2}} tal que

 \overline{U}_{0}\subseteq U_{s_{2}}\subseteq \overline{U}_{s_{2}}\subseteq U_{1}.

Assim, seja s_{3}\in S\setminus \{0,1,s_{2}\} e tome  q_{3} = \max\{ x\in \{0,1,s_{2}\}: x < s_{3}\} e  r_{3} = \min \{x\in \{0,1,s_{2}\}: s_{3} < x\}. Assim, novamente pela normalidade do espaço, podemos escolher um \tau-aberto U_{s_{3}} tal que

 \overline{U}_{q_{3}}\subseteq U_{s_{3}}\subseteq \overline{U}_{s_{3}}\subseteq U_{r_{3}}.

Procedemos, analogamente, por indução. Suponha, pelo bem da demonstração, que já estejam escolhidos os \tau-abertos  U_{0},\dots,U_{s_{n}}, para algum n\in\omega. Tome s_{n+1}\in S\setminus \{0,1,s_{2},\dots,s_{n}\} e defina  q_{n+1} = \max\{x\in \{0,1,s_{2},\dots,s_{n}\}: x < s_{n+1}\} e  r_{n+1} = \min\{x\in \{0,1,s_{2},\dots,s_{n}\}: s_{n+1} < x \}. Podemos, portanto, escolher um \tau-aberto U_{s_{n+1}} tal que

 \overline{U}_{q_{n+1}}\subseteq U_{s_{n+1}}\subseteq \overline{U}_{s_{n+1}}\subseteq U_{r_{n+1}}.

Assim procedemos até o primeiro ordinal transfinito \omega. Com isso, dispondo da família  \langle U_{s_{n}} \rangle _{n\in\omega} tal como acima, defina f:X\to [0,1], dada por

 f(x) = \begin{cases} 
                            \inf(\{r\in S : x\in U_{r}\}), & \text{ se } x\in U_{s_{1}}\\
                            1, & \text{ se } x\not\in U_{s_{1}} 
              \end{cases}

É evidente que f é contínua já que os intervalos do tipo [0,a[ e ]b,1], com a,b\in[0,1] formam uma sub-base de [0,1] com a topologia de subspaço; temos, também, que f(A)\subseteq \{0\} e f(B)\subseteq \{1\}, o que conclui a demonstração.

A recíproca do lema de Urysohn também é válida; com efeito, tomemos os \tau-abertos

U=f^{-1}([0, 1/2[)\text{  e  } V=f^{-1}(]1/2,1]).

Temos que

A\subseteq U,\; B\subseteq V,\text{  e  } U\cap V = \emptyset.

Observação[editar | editar código-fonte]

Deve estar claro ao leitor que o passo da atribuição de um racional ao aberto, que satifaça a relação de inclusão, é feito mediante a admissão do Princípio da Escolha Dependente. Temos também que o Lema de Urysohn é não-demonstrável em ZF [1] , mas é demonstrável em ZF + DC.

Vale salientar que a função de Urysohn depende dos fechados A e B
.

Ver Também[editar | editar código-fonte]

Teorema da Extensão de Tietze-Urysohn

Espaço Normal

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN-10: 3885380064.
  • Pavel Urysohn, Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen, Mathematische Annalen, vol. 94 (1925), pp. 262-308.
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