Espaço topológico

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Espaços topológicos são estruturas que permitem a formalização de conceitos tais como convergência, conexidade e continuidade. Eles aparecem em praticamente todos os ramos da matemática moderna e são uma noção unificadora central. O ramo da matemática que estuda os espaços topológicos é denominado topologia.

Wikilivros
O Wikilivros tem um livro chamado Topologia

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma topologia em um conjunto X é uma coleção \tau de partes de X, chamados os abertos da topologia, com as seguintes propriedades:

  1. \varnothing , X \in \tau;
  2. Se A_1,A_2 \in \tau, então A_1\cap A_2\in\tau;
  3. Dada uma família arbitrária (A_\lambda)_{\lambda\in L}, com A_\lambda\in\tau, \forall\lambda\in L, tem-se (\bigcup_{\lambda\in L}A_{\lambda})\in\tau.

Um espaço topológico é um par ( X, \tau) onde X é um conjunto e \tau é uma topologia em X.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Se X é um conjunto, a topologia \tau=P(X), onde P(X) é o conjunto das partes de X é denominada a topologia discreta sobre X.
  • Se X é um conjunto, a topologia \tau=\{\varnothing, X\} é denominada a topologia grosseira sobre X.
  • Um espaço métrico (X,d) tem uma estrutura natural de espaço topológico para \tau definido como o conjunto das reuniões de bolas abertas B(x,\delta)=\{y\in X:d(x,y)<\delta\}.
  • Nada impede que, a um conjunto X, esteja associada mais de uma topologia, por exemplo, \tau_1 e \tau_2. Quando todo aberto de \tau_1 for um aberto de \tau_2, diz-se que a topologia \tau_1 é mais grossa que \tau_2, ou, analogamente, que \tau_2 é mais fina que \tau_1. Como o próprio nome indica, a topologia grosseira é mais grossa que qualquer outra, e a topologia discreta é mais fina que qualquer outra.

Fechados[editar | editar código-fonte]

Um subconjunto de um espaço topológico diz-se fechado se o seu complementar for aberto.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Dada uma família não-vazia de topologias \{ \tau_{\lambda} \}, a sua interseção \bigcap_{\lambda} \tau_{\lambda} é uma topologia.
  • Essa propriedade permite construir topologias mínimas, ou seja, a menor topologia que satisfaz determinadas propriedades, como sendo a interseção de todas as topologias que satisfazem determinada propriedade (desde que essa propriedade seja hereditária para interseções!).
  • Por exemplo, dada uma coleção S de subconjuntos de X (ou seja, S \subset P(X)), sabemos que existe uma topologia que contém S, a topologia discreta \tau = P(X). Portanto, a família F de todas as topologias que contém S não é vazia, e podemos formar a sua interseção. Esta é a topologia gerada por S, e S é uma sub-base desta topologia.
  • Seja \tau_X uma topologia em X, e Y \subset X. Para tornar Y um subespaço topológico, existe uma topologia canônica em Y, \tau_Y = \{ A \cap Y | A \in \tau_X \},. Uma forma interessante de construir essa topologia se baseia no conceito de função contínua. A função inclusão i: Y \rightarrow X , i(y) = y é contínua para a topologia discreta em Y, portanto a família de todas as topologias em Y para as quais i é contínua é um conjunto não-vazio. A topologia canônica de Y é precisamente a menor topologia que torna a inclusão uma função contínua.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Lima, Elon Lages. Espaços métricos. 5ª ed. [S.l.]: IMPA, 2013. 299 pp. ISBN 978-85-244-0158-9
  • Lima, Elon Lages. Elementos de topologia geral. [S.l.]: LTC, 1976.
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