Espaço topológico

Espaços topológicos são estruturas que permitem a formalização de conceitos tais como convergência, conexidade e continuidade. Eles aparecem em praticamente todos os ramos da matemática moderna e são uma noção unificadora central. O ramo da matemática que estuda os espaços topológicos é denominado topologia.

Definição

Uma topologia em um conjunto $X\,\!$ é uma coleção $\tau\,\!$ de partes de $X\,\!$, chamados os abertos da topologia, com as seguintes propriedades:

1. $\varnothing , X \in \tau$;
2. Se $A_1,A_2 \in \tau$, então $A_1\cap A_2\in\tau$;
3. Dada uma família arbitrária $(A_\lambda)_{\lambda\in L}$, com $A_\lambda\in\tau, \forall\lambda\in L$, tem-se $(\bigcup_{\lambda\in L}A_{\lambda})\in\tau$.

Um espaço topológico é um par $( X, \tau)\,\!$ onde $X\,\!$ é um conjunto e $\tau\,\!$ é uma topologia em $X\,\!$.

Exemplos

• Se $X\,\!$ é um conjunto, a topologia $\tau=P(X)\,\!$, onde $P(X)\,\!$ é o conjunto das partes de $X\,\!$ é denominada a topologia discreta sobre $X\,$.
• Se $X\,\!$ é um conjunto, a topologia $\tau=\{\varnothing, X\}$ é denominada a topologia grosseira sobre $X\,$.
• Um espaço métrico $(X,d)\,\!$ tem uma estrutura natural de espaço topológico para $\tau\,\!$ definido como o conjunto das reuniões de bolas abertas $B(x,\delta)=\{y\in X:d(x,y)<\delta\}\,\!$.
• Nada impede que, a um conjunto X, esteja associada mais de uma topologia, por exemplo, $\tau_1\,\!$ e $\tau_2\,\!$. Quando todo aberto de $\tau_1\,\!$ for um aberto de $\tau_2\,\!$, diz-se que a topologia $\tau_1\,\!$ é mais grossa que $\tau_2\,\!$, ou, analogamente, que $\tau_2\,\!$ é mais fina que $\tau_1\,\!$. Como o próprio nome indica, a topologia grosseira é mais grossa que qualquer outra, e a topologia discreta é mais fina que qualquer outra.

Fechados

Ver artigo principal: Conjunto fechado

Um subconjunto de um espaço topológico diz-se fechado se o seu complementar for aberto.

Propriedades

• Dada uma família não-vazia de topologias $\{ \tau_{\lambda} \}\,$, a sua interseção $\bigcap_{\lambda} \tau_{\lambda}\,$ é uma topologia.
• Essa propriedade permite construir topologias mínimas, ou seja, a menor topologia que satisfaz determinadas propriedades, como sendo a interseção de todas as topologias que satisfazem determinada propriedade (desde que essa propriedade seja hereditária para interseções!).
• Por exemplo, dada uma coleção S de subconjuntos de X (ou seja, $S \subset P(X)\,$), sabemos que existe uma topologia que contém S, a topologia discreta $\tau = P(X)\,$. Portanto, a família F de todas as topologias que contém S não é vazia, e podemos formar a sua interseção. Esta é a topologia gerada por S, e S é uma sub-base desta topologia.
• Seja $\tau_X\,$ uma topologia em X, e $Y \subset X\,$. Para tornar Y um subespaço topológico, existe uma topologia canônica em Y, $\tau_Y = \{ A \cap Y | A \in \tau_X \},$. Uma forma interessante de construir essa topologia se baseia no conceito de função contínua. A função inclusão $i: Y \rightarrow X , i(y) = y\,$ é contínua para a topologia discreta em Y, portanto a família de todas as topologias em Y para as quais i é contínua é um conjunto não-vazio. A topologia canônica de Y é precisamente a menor topologia que torna a inclusão uma função contínua.