Continuidade uniforme

Continuidade uniforme é um importante conceito matemático com numerosas aplicações sobretudo na análise real e na análise funcional.

Grosseiramente falando, uma função é dita contínua se suficientemente pequenas variações no domínio resultem em pequenas variações na imagem. Uma função é dita uniformemente contínua se "suficientemente pequeno" for independente do ponto inicial.

O conceito de continuidade uniforme é normalmente definido para funções entre dois espaços métricos, mas este conceito é muitas vezes generalizado para espaços vectoriais topológicos.

A continuidade uniforme é um conceito mais forte que o de continuidade e mais fraco que o de Lipschitz-continuidade (quando este se aplica).

Definição

No livro An Elementary Course in Analytic Geometry, de 1808, John Henry Tanner e Joseph Allen definem função contínua real com o que, hoje, é a definição de função uniformemente contínua.^{[carece de fontes]} Segundo esta obra, uma função contínua seria uma função y = φ(x) que, quando a variável independente x passa por todos os valores reais entre a e b, o valor de φ(x) nunca se torna infinito e cobre todos valores entre φ(a) e φ(b). Esta definição é falsa.

Uma forma mais precisa desta definição é dizer que, para uma função real, definida para valores entre a e b, dados quaisquer valores x₁ e x₂ entre a e b, os valores de φ(x₁) e φ(x₂) devem ser finitos e deve ser possível achar para cada valor ε um valor δ tal que sempre que |x₁ - x₂| < δ, tem-se que |φ(x₁) - φ(x₂)| < ε.

Para a função $f:X\to Y\,$ definida do espaço métrico $X\,$ para o espaço métrico $Y\,$, $f\,$ é dita uniformemente contínua se dado $\varepsilon>0\,$ existe um $\delta>0\,$ tal que:

$d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon,~~\forall x,y\in X\,$

Ou seja, juntando tudo em uma única sentença matemática:

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, y \in X, (d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon)\,$

A definição mais fraca de uma função contínua em todos os pontos se escreve assim:

$\forall x \in X, \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall y \in X, (d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon)\,$

Observa-se que para uma função ser contínua em todos os pontos, basta ser possível escolher um $\delta\,$ para cada $x\,$, enquanto que a continuidade uniforme exige um $\delta\,$ global, para todo $x\,$.

Propriedades

Sejam $X\,$ e $Y\,$ espaços métricos com $X\,$ compacto e $f:X\to Y\,$ contínua então $f\,$ é uniformemente contínua.