Continuidade uniforme

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Continuidade uniforme é um importante conceito matemático com numerosas aplicações sobretudo na análise real e na análise funcional.

Grosseiramente falando, uma função é dita contínua se suficientemente pequenas variações no domínio resultem em pequenas variações na imagem. Uma função é dita uniformemente contínua se "suficientemente pequeno" for independente do ponto inicial.

O conceito de continuidade uniforme é normalmente definido para funções entre dois espaços métricos, mas este conceito é muitas vezes generalizado para espaços vectoriais topológicos.

A continuidade uniforme é um conceito mais forte que o de continuidade e mais fraco que o de Lipschitz-continuidade (quando este se aplica).

Definição[editar | editar código-fonte]

No livro An Elementary Course in Analytic Geometry, de 1808, John Henry Tanner e Joseph Allen definem função contínua real com o que, hoje, é a definição de função uniformemente contínua.[carece de fontes?] Segundo esta obra, uma função contínua seria uma função y = φ(x) que, quando a variável independente x passa por todos os valores reais entre a e b, o valor de φ(x) nunca se torna infinito e cobre todos valores entre φ(a) e φ(b).[1] Esta definição é falsa.

Uma forma mais precisa desta definição é dizer que, para uma função real, definida para valores entre a e b, dados quaisquer valores x1 e x2 entre a e b, os valores de φ(x1) e φ(x2) devem ser finitos e deve ser possível achar para cada valor ε um valor δ[Nota 1] tal que sempre que |x1 - x2| < δ, tem-se que |φ(x1) - φ(x2)| < ε.[Nota 2]

Para a função f:X\to Y\, definida do espaço métrico X\, para o espaço métrico Y\,, f\, é dita uniformemente contínua se dado \varepsilon>0\, existe um \delta>0\, tal que:

d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon,~~\forall x,y\in X\,

Ou seja, juntando tudo em uma única sentença matemática:

\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, y \in X, (d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon)\,

A definição mais fraca de uma função contínua em todos os pontos se escreve assim:

\forall x \in X, \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall y \in X, (d\left(x,y\right)<\delta \Longrightarrow d\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon)\,

Observa-se que para uma função ser contínua em todos os pontos, basta ser possível escolher um \delta\, para cada x\,, enquanto que a continuidade uniforme exige um \delta\, global, para todo x\,.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam X\, e Y\, espaços métricos com X\, compacto e f:X\to Y\, contínua então f\, é uniformemente contínua.

Notas e referências

Notas

  1. No texto de Tanner e Allen, em vez de δ, é utilizada a letra η.
  2. O texto de Tanner e Allen omite os símbolos de valor absoluto.

Referências

  1. John Henry Tanner e Joseph Allen, An Elementary Course in Analytic Geometry (1808), Part I, Chapter I, Introduction, Algebraic and Trigonometric Conceptions, 7. Continuous e discontinuous functions [google books]
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