Função Lipschitz contínua

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Em matemática, sobretudo na análise real, uma função Lipschitz contínua é um critério de suavidade mais forte que a condição de continuidade uniforme (logo, de continuidade). O nome tem origem no matemático alemão Rudolf Otto Sigismund Lipschitz.

As funções Lipschitz contínuas são uma caso particular das funções Hölder contínuas.

Definição mais geral em espaços métricos[editar | editar código-fonte]

Sejam (X,d) e (Y,d) espaços métricos. Uma função f:X\to Y é dita Lipschitz contínua se existir uma constante L tal que:

d\left(f(x),f(y)\right)\leq L d(x,y), \forall x,y\in X

O ínfimo das constantes L para o qual a desigualdade acima é válida é chamado de constante de Lipschitz.

Caso particular nos reais[editar | editar código-fonte]

Uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é dita Lipschitz contínua, se existir uma constante L \geq 0 tal que:

\left|f(x)-f(y)\right|\leq L |x-y|,~~\forall x,y\in X

Se f for diferenciável então:

\left|\frac{df}{dx}\right|\leq L

Generalização[editar | editar código-fonte]

Uma função f é dita localmente Lipschitz contínua se para cada ponto x do domínio existe uma vizinhança V(x) tal que a restrição de f a V(x) é Lipschitz contínua.

Casos especiais[editar | editar código-fonte]

  • Uma função f:X\to X é dita uma contração uniforme se sua constante de Lipschitz for menor que 1.
  • Uma função f:X\to X é dita uma contração se:
    d\left(f(x),f(y)\right)< d(x,y),~~\forall x\neq y\in X
  • Uma função f:X\to Y é dita não expansiva se sua constante de Lipschitz for igual a 1.