Sucessão de Cauchy

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Em matemática, uma sucessão de Cauchy ou seqüência de Cauchy é uma sucessão tal que a distância entre os termos se vai aproximando de zero. Deve o seu nome ao matemático francês Augustin Louis Cauchy. Intuitivamente é uma sequência onde seus termos vão ficando cada vez mais próximos.

Definição para números reais[editar | editar código-fonte]

Uma sequência (x_n)_{n \in \mathbb{N}} é chamada de sequência de Cauchy se para qualquer número positivo \epsilon existe um natural n_0 tal que se n,m são maiores do que n_0 a distância entre x_n e x_m é menor do que \epsilon. Em linguagem simbólica temos:

\forall \epsilon> 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} : n,m \geq n_0 \Rightarrow |x_n- x_m| < \epsilon

Nos reais uma sequência é convergente se, e somente se, for de Cauchy esta propriedade é chamada de completude e torna os Reais um espaço completo.

Definição para espaços métricos[editar | editar código-fonte]

Depois de definir de Cauchy para os reais é simples estender a definição para espaços métricos quaisquer.

Se M é um espaço métrico e d: MxM \rightarrow \mathbb{R} sua métrica dizemos que (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset M diz-se de Cauchy se:

\forall \epsilon> 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ | n,m \geq n_0 \Rightarrow d(x_{n}, x_{m}) < \epsilon

Em espaços normados , esta definição se escreve como:

\forall \epsilon> 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ | n,m \geq n_0 \Rightarrow |x_{n}-x_{m}|< \epsilon

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • (x_n)_{n \in \mathbb{N^*}} em \mathbb{R}, dada por x_n = 1/n, \forall n \in \mathbb{N}.

De fato, dado \epsilon > 0, pela propriedade arquimediana, podemos encontrar n_0 tal que 1/n_0 < \epsilon, então se n, m \geq n_0, sem perda de generalidade, podemos supor que n \geq m, assim, teremos 0 < 1/n \leq 1/m \leq 1/n_0. De onde concluimos que |1/n -  1/m| \leq |1/n_0 - 0| = 1/n_0 < \epsilon, portanto (x_n) é uma seqüência de Cauchy.

Convergência e completude[editar | editar código-fonte]

Qualquer sucessão convergente (no sentido usual) é de Cauchy, no entanto existem espaços contendo sucessões de Cauchy não convergentes. Por exemplo, a sucessão (1/n) é de Cauchy, mas não é convergente no intervalo (0,1) (embora o seja em \R). A um espaço onde todas as sucessões de Cauchy são convergentes chama-se um espaço completo.

Dado E um espaço métrico qualquer, é possível construir uma extensão de E que é um espaço métrico completo. Esta extensão é única (no sentido categorial), ou seja, dadas duas completudes de E elas são isométricas.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

Espaços Vectoriais Topológicos[editar | editar código-fonte]

Em um espaço vectorial topológico genérico, não podemos usar esta definição, porque uma métrica pode não existir. No entanto, como uma topologia corresponde à noção intuitiva de proximidade, pode-se definir o que é uma sucessão de Cauchy em um espaço vectorial topológico como uma sucessão x_i\, em que, a partir de qualquer n, os termos seguintes vão ficando cada vez mais próximos.

Ou seja, qualquer que seja uma vizinhança do vector nulo, termos suficientemente altos da sucessão vão diferir entre si de um vector que está nesta vizinhança.

Em termos rigorosos, seja \tau\, a topologia. Isto se escreve assim:

\forall A \in \tau, (0 \in A \implies \exists n, \forall i, j, (i > n \land j > n \implies x_i - x_j \in A))\,

Se a topologia do espaço vectorial topológico é induzida por uma métrica d invariante por translação então as duas noções são equivalentes.