Sucessão de Cauchy

Em matemática, uma sucessão de Cauchy ou seqüência de Cauchy é uma sucessão tal que a distância entre os termos se vai aproximando de zero. Deve o seu nome ao matemático francês Augustin Louis Cauchy.

Definição para espaços métricos

Uma sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diz-se de Cauchy se:

$\forall \epsilon> 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ | n,m \geq n_0 \Rightarrow d(x_{n}, x_{m}) < \epsilon$

Em espaços vetoriais com norma, esta definição se escreve como:

$\forall \epsilon> 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ | n,m \geq n_0 \Rightarrow |x_{n}-x_{m}|< \epsilon$.

Exemplos

• $(x_n)_{n \in \mathbb{N^*}}$ em $\mathbb{R}$, dada por $x_n = 1/n, \forall n \in \mathbb{N}$.

De fato, dado $\epsilon > 0$, pela propriedade arquimediana, podemos encontrar $n_0$ tal que $1/n_0 < \epsilon$, então se $n, m \geq n_0$, sem perda de generalidade, podemos supor que $n \geq m$, assim, teremos $0 < 1/n \leq 1/m \leq 1/n_0$. De onde concluimos que $|1/n - 1/m| \leq |1/n_0 - 0| = 1/n_0 < \epsilon$, portanto $(x_n)$ é uma seqüência de Cauchy.

Convergência e completude

Ver artigo principal: Espaço completo

Qualquer sucessão convergente é de Cauchy, no entanto existem espaços contendo sucessões de Cauchy não convergentes. Por exemplo, a sucessão $(1/n)$ é de Cauchy, mas não é convergente no intervalo (0,1) (embora o seja em $\R$). A um espaço onde todas as sucessões de Cauchy são convergentes chama-se um espaço completo.

Dado E um espaço métrico qualquer, é possível construir uma extensão de E que é um espaço métrico completo. Esta extensão é única (no sentido categorial), ou seja, dadas duas completudes de E elas são isométricas.

Generalizações

Espaços Vectoriais Topológicos

Em um espaço vectorial topológico genérico, não podemos usar esta definição, porque uma métrica pode não existir. No entanto, como uma topologia corresponde à noção intuitiva de proximidade, pode-se definir o que é uma sucessão de Cauchy em um espaço vectorial topológico como uma sucessão $x_i\,$ em que, a partir de qualquer n, os termos seguintes vão ficando cada vez mais próximos.

Ou seja, qualquer que seja uma vizinhança do vector nulo, termos suficientemente altos da sucessão vão diferir entre si de um vector que está nesta vizinhança.

Em termos rigorosos, seja $\tau\,$ a topologia. Isto se escreve assim:

$\forall A \in \tau, (0 \in A \implies \exists n, \forall i, j, (i > n \land j > n \implies x_i - x_j \in A))\,$

Se a topologia do espaço vectorial topológico é induzida por uma métrica d invariante por translação então as duas noções são equivalentes.