Espaço de Banach

Em matemática, um espaço de Banach é um espaço vectorial normado completo. Deve seu nome ao matemático polaco Stefan Banach.

Os números reais e os números complexos são espaços de Banach onde a norma é o próprio valor absoluto.

Exemplos

• Qualquer espaço de Hilbert é um espaço de Banach.
• O espaço das funções contínuas reais definidas no intervalo $[0,1]\,$ é um espaço de Banach com a norma do supremo:

$\|f\|=\sup_{x\in [0,1]}|f(x)|\,.$

Toda função contínua é limitada num compacto, portanto a norma está bem definida. Os axiomas da norma são facilmente verificados. Ainda, convergência nesta norma é equivalente à convergência uniforme. Como convergência uniforme preserva continuidade, o espaço é completo.

Ver também

• Álgebra de Banach - quando o espaço é uma álgebra sobre um corpo, com propriedades consistentes entre o produto de vetores e a norma.