Desigualdade de Hölder

Em matemática, sobretudo no estudo dos espaços funcionais, a desigualdade de Hölder é uma desigualdade fundamental no estudo dos espaços L^p.

Desigualdade para somatórios finitos

Sejam $1<p,q<\infty \,$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

• $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,$

Sejam $a_n\,$ e $b_n\,$ seqüências se números reais ou complexos Então:

$\left|\sum_{n=1}^{N}a_n b_n\right| \leq \left(\sum_{n=1}^{N}|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^{N}|b_n|^q\right)^{\frac{1}{q}}$

Desigualdade para séries

Sejam $1<p,q<\infty \,$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

• $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,$

E ainda, $a_n\in \ell^p\,$ e $b_n\in \ell^q\,$ (veja espaço lp), vale:

$\left|\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n\right| \leq \sup_N \sum_{n=1}^N|a_n b_n| \leq \sup_{N}\left(\sum_{n=1}^{N}|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^{N}|b_n|^q\right)^{\frac{1}{q}}\leq \left(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|^q\right)^{\frac{1}{q}}$

Desigualdade para integrais

Sejam $1<p,q<\infty \,$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

• $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,$

Sejam $f:D\to\mathbb{R}\,$ e $g:D\to\mathbb{R}\,$ funções $f\in L^p\,$, $g\in L^q\,$ e $V\subseteq D\,$, então:

$\left|\int_V f(x)g(x)dx \right| \leq \left(\int_V |f(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_V |g(x)|^qdx\right)^{\frac{1}{q}}$

Observe que a desigualdade implica $fg\in L^1(V)$

Demonstração

A desigualdade é trivialmente válida alguma das integrais à direita for nula.

Podemos então supor que cada uma das integrais à direito é finita e não-nula, defina ainda:

• $\tilde{f}(x)=\frac{f(x)}{\left(\int_V |f(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}}\,$
• $\tilde{g}(x)=\frac{g(x)}{\left(\int_V |g(x)|^qdx\right)^{\frac{1}{q}}}\,$

Então estimemos pela desigualdade triangular:

$\left|\int_V f(x)g(x)dx \right| \leq \int_V \left|f(x)g(x) \right|dx = \left(\int_V |f(x)|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_V |g(x)|^q\right)^{\frac{1}{q}} \int_V \left|\tilde{f}(x)\tilde{g}(x) \right|dx$

Basta mostrar que:

$\int_V \left|\tilde{f}(x)\tilde{g}(x) \right|dx \leq 1$

Agora, usamos a desigualdade de Young:

$|\tilde{f}(x) \tilde{g}(x)| = |\tilde{f}(x)| \cdot |\tilde{g}(x)| \leq \frac{1}{p}|\tilde{f}(x)|^p + \frac{1}{q}|\tilde{g}(x)|^q$

$\left|\int_V \tilde{f}(x)\tilde{g}(x)dx \right| \leq \frac{1}{p}\int_V|\tilde{f}(x)|^p dx + \frac{1}{q}\int_V|\tilde{g}(x)|^q dx$

Da definição de $\tilde{f}(x)\,$ e $\tilde{g}(x)\,$, temos:

$\int_V|\tilde{f}(x)|^p dx=\int_V|\tilde{g}(x)|^q dx =1\,$

$\left|\int_V \tilde{f}(x)\tilde{g}(x)dx \right| \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1$

E finalmente:

$\left|\int_V f(x)g(x)dx \right| \leq \left(\int_V |f(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_V |g(x)|^qdx\right)^{\frac{1}{q}}$

Espaços L^p

Na linguagem dos espaços l^p, a desigualdade toma a forma:

$\left\|\{a_n b_n\} \right\|_{\ell^1}\leq \left\|\{a_n\} \right\|_{\ell^p}\left\|\{a_n b_n\} \right\|_{\ell^{p^*}}$

Nos espaços L^p, tem a forma:

$\left\|fg \right\|_{L^1}\leq \left\|f\right\|_{L^p}\left\|g\right\|_{L^{p^*}}$

Observe que em ambos os casos, a desigualdade é válida no caso extremo (e trivial) $p=1\,$ ou $p=\infty\,$.

Ver também

• Desigualdade
• Desigualdade de Young
• espaço lp
• espaço Lp