Desigualdade de Hölder

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Em matemática, sobretudo no estudo dos espaços funcionais, a desigualdade de Hölder é uma desigualdade fundamental no estudo dos espaços Lp.

Desigualdade para somatórios finitos[editar | editar código-fonte]

Sejam 1<p,q<\infty \, conjugados de Lebesgue, ou seja:

  • \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,

Sejam a_n\, e b_n\, seqüências se números reais ou complexos Então:

\left|\sum_{n=1}^{N}a_n b_n\right| \leq \left(\sum_{n=1}^{N}|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^{N}|b_n|^q\right)^{\frac{1}{q}}

Desigualdade para séries[editar | editar código-fonte]

Sejam 1<p,q<\infty \, conjugados de Lebesgue, ou seja:

  • \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,

E ainda, a_n\in  \ell^p\, e b_n\in  \ell^q\, (veja espaço lp), vale:

\left|\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n\right| \leq \sup_N \sum_{n=1}^N|a_n b_n| \leq \sup_{N}\left(\sum_{n=1}^{N}|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^{N}|b_n|^q\right)^{\frac{1}{q}}\leq \left(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|^q\right)^{\frac{1}{q}}


Desigualdade para integrais[editar | editar código-fonte]

Sejam 1<p,q<\infty \, conjugados de Lebesgue, ou seja:

  • \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,

Sejam f:D\to\mathbb{R}\, e g:D\to\mathbb{R}\, funções f\in L^p\,, g\in L^q\, e V\subseteq D\,, então:

\left|\int_V f(x)g(x)dx \right| \leq \left(\int_V |f(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_V |g(x)|^qdx\right)^{\frac{1}{q}}

Observe que a desigualdade implica fg\in  L^1(V)

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A desigualdade é trivialmente válida alguma das integrais à direita for nula.

Podemos então supor que cada uma das integrais à direito é finita e não-nula, defina ainda:

  • \tilde{f}(x)=\frac{f(x)}{\left(\int_V |f(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}}\,
  • \tilde{g}(x)=\frac{g(x)}{\left(\int_V |g(x)|^qdx\right)^{\frac{1}{q}}}\,

Então estimemos pela desigualdade triangular:

\left|\int_V f(x)g(x)dx \right| \leq \int_V \left|f(x)g(x) \right|dx = \left(\int_V |f(x)|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_V |g(x)|^q\right)^{\frac{1}{q}} \int_V \left|\tilde{f}(x)\tilde{g}(x) \right|dx

Basta mostrar que:

\int_V \left|\tilde{f}(x)\tilde{g}(x) \right|dx \leq 1

Agora, usamos a desigualdade de Young:

|\tilde{f}(x) \tilde{g}(x)| = |\tilde{f}(x)| \cdot |\tilde{g}(x)| \leq \frac{1}{p}|\tilde{f}(x)|^p + \frac{1}{q}|\tilde{g}(x)|^q
\left|\int_V \tilde{f}(x)\tilde{g}(x)dx \right| \leq \frac{1}{p}\int_V|\tilde{f}(x)|^p dx + \frac{1}{q}\int_V|\tilde{g}(x)|^q dx

Da definição de \tilde{f}(x)\, e \tilde{g}(x)\,, temos:

\int_V|\tilde{f}(x)|^p dx=\int_V|\tilde{g}(x)|^q dx =1\,
\left|\int_V \tilde{f}(x)\tilde{g}(x)dx \right| \leq  \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1

E finalmente:

\left|\int_V f(x)g(x)dx \right| \leq \left(\int_V |f(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_V |g(x)|^qdx\right)^{\frac{1}{q}}


Espaços Lp[editar | editar código-fonte]

Na linguagem dos espaços lp, a desigualdade toma a forma:

\left\|\{a_n b_n\} \right\|_{\ell^1}\leq \left\|\{a_n\} \right\|_{\ell^p}\left\|\{a_n b_n\} \right\|_{\ell^{p^*}}

Nos espaços Lp, tem a forma:

\left\|fg \right\|_{L^1}\leq \left\|f\right\|_{L^p}\left\|g\right\|_{L^{p^*}}


Observe que em ambos os casos, a desigualdade é válida no caso extremo (e trivial) p=1\, ou p=\infty\,.

Ver também[editar | editar código-fonte]