Espaço lp

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, os espaços \ell^p são espaços normados cujos pontos são sequências de números reais ou complexos. São exemplos de espaços de dimensão infinita.

Definições[editar | editar código-fonte]

  • Um sequência \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\, é dita pertencer ao espaço \ell^{\infty}\, se for limitada, ou seja:
\|a_n\|_{\ell^\infty}:=\sup_{n=1}^{\infty}|a_n| < \infty
  • Um sequência \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\, é dita pertencer ao espaço \ell^p\, se for p-somável, ou seja:
\|a_n\|_{\ell^p}:=\left(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}} < \infty

A desigualdade de Minkowski garante que estes espaços são lineares que a norma está bem definida, satisfazendo seus axiomas.

Os espaços \ell^p crescem à medida que p cresce, isto é, se p<q, então \ell^p\subset\ell^q.

\ell^2[editar | editar código-fonte]

O único espaço \ell^p que é um espaço de Hilbert é \ell^2, que é dotado do produto interno

\langle \{a_n\}|\{b_n\} \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\overline{b_n}

Dualidade[editar | editar código-fonte]

Seja 1\leq p < \infty então o espaço dual \left(\ell^p\right)^*\, é o espaço \ell^{p^*}\,, os funcionais são da forma:

l\left(\{a_n\}\right)= \sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n, para algum \{b_n\}\, associado a l\,.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.