Norma (matemática)

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Uma circunferência centrada na origem de \R^2 relativa a três normas distintas

Em matemática, uma norma consiste em uma função que a cada vetor de um espaço vetorial associa um número real não-negativo. O conceito de norma está intuitivamente relacionado à noção geométrica de comprimento.

Definição[editar | editar código-fonte]

Dado um espaço vetorial X sobre o corpo \mathbb{K} dos números reais ou complexos, uma função \| \cdot \|: X \to \mathbb{R}^{+} é chamada de norma se, para quaisquer \vec x, \vec y \in X e todo \alpha \in \mathbb{K}:[1]

Se o espaço vetorial X tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por \left(X, \| \cdot \|\right).

Métrica e topologia induzida[editar | editar código-fonte]

Toda norma induz de forma natural uma métrica d em X cujos valores são dados por:[2]

d(\vec x , \vec y)=\|\vec x - \vec y\|\,.

Também induz uma topologia localmente convexa que é gerada por todas as bolas:

B(\vec x_0 ,r)=\{\vec x \in X:\|\vec x - \vec x_0\|<r \},~~\forall \vec x \in X,\forall r \in \mathbb{R_+}

Normas equivalentes[editar | editar código-fonte]

Duas normas \|.\|_1 e \|.\|_2 sobre o mesmo espaço vetorial X são ditas equivalentes se existirem constantes reais positivas C_1 e C_2\, (C_1 \leq C_2) tais que:

C_1\|\vec x\|_1 \leq \|\vec x\|_2 \leq C_2\|\vec x\|_1 ~~\forall \vec x\in X

Quando duas normas são equivalentes, elas induzem a mesma topologia.

Normas em espaços de dimensão finita[editar | editar código-fonte]

Seja \vec x=\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)=\sum_{i=1}^nx_i \vec e_i a representação de um vetor em \mathbb{R}^n ou \mathbb{C}^n.

As normas canônicas definidas nestes espaços são as chamadas normas \ell^p:

  • \|\vec x\|_p=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^{1/p}~~, 1\leq p<\infty
  • \|\vec x\|_\infty=\max_{i=1}^n(|x_i|)

O caso particular em que p = 2 corresponde à norma euclidiana:

\|\vec x\|_2=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^2\right)^{1/2}

Outras normas podem ainda ser definidas, no entanto, pode-se demonstrar que todas elas serão equivalentes.

Norma matricial[editar | editar código-fonte]

Se o espaço vetorial considerado é aquele formado pelas matrizes reais ou complexas de ordem n\times m, denotado por M^{n\times m}, uma norma sobre esse espaço é chamada de norma matricial. Um exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada \|.\|_1 definida como o máximo da soma módulo das entradas de cada linha, ou seja se A = \left[ a_{ij} \right]_{r \times s} então a norma do máximo da matriz A é o número não negativo dado por

\|A\|_1 =  \max_{1 \le i \le r} \sum_{j=1}^s |a_{ij}|.

A norma do máximo da matriz A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}, por exemplo, é[3]

\| A \|_1 = \max \left\{ |1| + |3|, |2| + |-1| \right\} = \max \left\{4, 3\right\} = 4.

Normas em espaços de dimensão infinita[editar | editar código-fonte]

Espaços LP[editar | editar código-fonte]

As normas \ell^p têm análogos em alguns espaços de dimensão infinita.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. SANTOS (2010), p.3, ex. 54.
  2. SANTOS (2010), p.60.
  3. Boldrini et. al, p. 342.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 60.
  • Boldrini, José Luiz et. al. Álgebra Linear. 3ª. ed. [S.l.]: Harbra. p. 342.

Ver também[editar | editar código-fonte]