Norma (matemática)

Uma circunferência centrada na origem de $\R^2$ relativa a três normas distintas

Em matemática, uma norma consiste em uma função que a cada vetor de um espaço vetorial associa um número real não-negativo. O conceito de norma está intuitivamente relacionado à noção geométrica de comprimento.

Definição

Dado um espaço vetorial $X$ sobre o corpo $\mathbb{K}$ dos números reais ou complexos, uma função $\| \cdot \|: X \to \mathbb{R}^{+}$ é chamada de norma se, para quaisquer $\vec x, \vec y \in X$ e todo $\alpha \in \mathbb{K}$:

• $\|\vec x\| = 0 \Rightarrow \vec x = \vec 0$. Se esta condição não for atendida, a função será no máximo uma seminorma.
• $\|\alpha \vec x\|=|\alpha| \|\vec x\|$
• $\|\vec x + \vec y\| \le \|\vec x\|+\|\vec y\|$ (desigualdade triangular)

Se o espaço vetorial $X$ tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por $\left(X, \| \cdot \|\right)$.

Métrica e topologia induzida

Toda norma induz de forma natural uma métrica $d$ em $X$ cujos valores são dados por:

$d(\vec x , \vec y)=\|\vec x - \vec y\|\,.$

Também induz uma topologia localmente convexa que é gerada por todas as bolas:

$B(\vec x_0 ,r)=\{\vec x \in X:\|\vec x - \vec x_0\|<r \},~~\forall \vec x \in X,\forall r \in \mathbb{R_+}$

Normas equivalentes

Duas normas $\|.\|_1\,$ e $\|.\|_2\,$ sobre o mesmo espaço vetorial $X\,$ são ditas equivalentes se existirem constantes reais positivas $C_1\,$ e $C_2\, (C_1 \leq C_2)$ tais que:

$C_1\|\vec x\|_1 \leq \|\vec x\|_2 \leq C_2\|\vec x\|_1 ~~\forall \vec x\in X$

Quando duas normas são equivalentes, elas induzem a mesma topologia.

Normas em espaços de dimensão finita

Seja $\vec x=\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)=\sum_{i=1}^nx_i \vec e_i\,$ a representação de um vetor em $\mathbb{R}^n$ ou $\mathbb{C}^n$.

As normas canônicas definidas nestes espaços são as chamadas normas $\ell^p$:

• $\|\vec x\|_p=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^{1/p}~~, 1\leq p<\infty$
• $\|\vec x\|_\infty=\max_{i=1}^n(|x_i|)$

O caso particular em que $p = 2$ corresponde à norma euclidiana:

$\|\vec x\|_2=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^2\right)^{1/2}$

Outras normas podem ainda ser definidas, no entanto, pode-se demonstrar que todas elas serão equivalentes.

Norma matricial

Ver artigo principal: Norma matricial

Se o espaço vetorial considerado é aquele formado pelas matrizes reais ou complexas de ordem $n\times m$, denotado por $M^{n\times m}$, uma norma sobre esse espaço é chamada de norma matricial. Um exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada $\|.\|_1$ definida como o máximo da soma módulo das entradas de cada linha, ou seja se $A = \left[ a_{ij} \right]_{r \times s}\,$ então a norma do máximo da matriz $A\,$ é o número não negativo dado por

$\|A\|_1 = \max_{1 \le i \le r} \sum_{j=1}^s |a_{ij}|.$

A norma do máximo da matriz $A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}\,$, por exemplo, é

$\| A \|_1 = \max \left\{ |1| + |3|, |2| + |-1| \right\} = \max \left\{4, 3\right\} = 4.$

Normas em espaços de dimensão infinita

Espaços L^P

Ver artigo principal: Espaço Lp

As normas $\ell^p$ têm análogos em alguns espaços de dimensão infinita.

Referências

• SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 60.
• Boldrini, José Luiz et. al. Álgebra Linear. 3ª ed. [S.l.]: Harbra. p. 342.

Ver também

• Produto interno
• Espaço de Banach
• Espaço euclidiano
• Espaço métrico
• Espaço vetorial topológico
• Funcional de Minkowski
• Semi-norma