Espaço Lp

Em matemática, sobretudo na teoria da medida e na análise funcional, os espaços L^p são um dos mais importantes espaços funcionais.

Definição

Seja $f:D\to\mathbb{C}\,$ uma função mensurável à Lebesgue definida em domínio $D\,$ mensurável.

• Se $p\in [1,\infty)\,$, $f\,$ é dita p-integrável e pertence ao espaço L^p se sua norma L^p for finita:

$\|f\|_{L^p(D)}=\left(\int_D|f(x)|^p dx\right)^{1/p}$

• Se $p=\infty\,$, $f\,$ é dita essencialmente limitada e pertence ao espaço $L^\infty\,$ se existir uma constante $C\,$ real tal que:

$\mu\{x\in D:|f|> C\}=0\,$, ou seja, $|f|\leq C\,$ exceto em conjunto de medida zero.

A norma $\|f\|_{L^\infty(D)}\,$ é a menor das contantes com a propriedade acima, ou seja:

$\|f\|_{L^\infty(D)}=\inf\{C: \mu \{|f(x)|> C\}=0\}\,$

Espaços de Banach

Se as funções em um espaço de Banach são identificadas apenas quase sempre, então as normas estão bem definidas através da desigualdade de Minkowski.

Espaço L²

O espaço $L^2(D)\,$ é um espaço de Hilbert dotado do seguinte produto interno:

$\lang f,g \rang=\int_Df(x)\overline{g}(x)dx\,$.

As funções deste espaço são chamadas de quadrado integráveis e assumem um papel fundamental na teoria das séries de Fourier.

Ver também

• Espaço lp
• Espaço de Banach
• Desigualdade de Hölder
• Desigualdade de Minkowski