Espaço Lp

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Em matemática, sobretudo na teoria da medida e na análise funcional, os espaços Lp são um dos mais importantes espaços funcionais.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja f:D\to\mathbb{C}\, uma função mensurável à Lebesgue definida em domínio D\, mensurável.

  • Se p\in [1,\infty)\,, f\, é dita p-integrável e pertence ao espaço Lp se sua norma Lp for finita:
\|f\|_{L^p(D)}=\left(\int_D|f(x)|^p dx\right)^{1/p}
  • Se p=\infty\,, f\, é dita essencialmente limitada e pertence ao espaço L^\infty\, se existir uma constante C\, real tal que:
\mu\{x\in D:|f|> C\}=0\,, ou seja, |f|\leq C\, exceto em conjunto de medida zero.

A norma \|f\|_{L^\infty(D)}\, é a menor das contantes com a propriedade acima, ou seja:

\|f\|_{L^\infty(D)}=\inf\{C: \mu \{|f(x)|> C\}=0\}\,

Espaços de Banach[editar | editar código-fonte]

Se as funções em um espaço de Banach são identificadas apenas quase sempre, então as normas estão bem definidas através da desigualdade de Minkowski.

Espaço L2[editar | editar código-fonte]

O espaço L^2(D)\, é um espaço de Hilbert dotado do seguinte produto interno:

\lang f,g \rang=\int_Df(x)\overline{g}(x)dx\,.

As funções deste espaço são chamadas de quadrado integráveis e assumem um papel fundamental na teoria das séries de Fourier.

Ver também[editar | editar código-fonte]