Série de Fourier

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As primeiras quatro somas da séria de Fourier de uma onda quadrada

A Série de Fourier é uma forma de representação de uma função periódica f(t) como uma soma de funções trigonométricas elementares (senos e cossenos).

História[editar | editar código-fonte]

A ideia de decompor funções arbitrárias em termos de funções trigonométricas simples movimentou grandes nomes da matemática começando por volta de 1750 com L. Euler (1707-1783) e D. Bernoulli (1700-1782), seguindo com J. d'Alembert (1717-1783) e J. L. Lagrange.[1]

Mais tarde Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) estudou sistematicamente tais séries infinitas, na tentativa de resolver a equação da onda. Em 1811, em sua Théorie mathématique de la chaleur (Teoria matemática de condução do calor), Fourier explicitou os coeficientes de tais séries (que ficaram conhecidos como coeficientes de Fourier, embora Euler já conhecesse o formato dos mesmos) e escreveu as séries de senos e cossenos de várias funções. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier, embora muito importantes a forma da série que recebeu o seu nome, são informais, em boa parte devido à falta de uma definição concisa de funções e integrais até o início do século XIX.[2]

P. G. Dirichlet foi um dos primeiros a reconhecer que nem toda função poderia ser representada por uma série de Fourier (fato que Fourier acreditava), obtendo uma condição suficiente para a validade da representação a partir da série estudada. Em um trabalho de 1829, Dirichlet dá a primeira demonstração rigorosa de que a série de Fourier de uma função f converge, em cada ponto x, para a média aritmética dos limites laterais de f nesse ponto. Nesse trabalho Dirichlet dá origem ao conceito de função como hoje se é conhecido.[1]

Aparentemente por influência de Dirichlet, G. B. Riemann (1826-1866) se interessou pelo estudo das séries trigonométricas, sendo levado a estudar a integral que leva hoje o seu nome e publicando em 1854 um trabalho intitulado "Sobre a representação de funções por meio de séries trigonométricas".[1]

Em 1876 du Bois-Reymond (1818-1896) construiu função cuja série de Fourier divergia em um dado ponto, e mais tarde ele mesmo construiu uma função cuja série divergia em um conjunto denso. Exemplos mais simples foram dados por L. Fejér (1880 -1959) em 1909. Vale citar também que em 1861 K. Weierstrass (1815-1897) deu o primeiro exemplo de função contínua sem derivada em ponto algum, sendo tal função definida por uma série trigonométrica que converge uniformemente (portanto uma série de Fourier).[2]

Não esqueçamos de citar G. Cantor (1845-1918), o qual teve grande influência pelo trabalho de Dirichlet e investigou o problema da unicidade da representação de funções por séries trigonométricas. Tais influências foram decisivas para a definição de números reais como sequência de números racionais e para a criação da Teoria dos Conjuntos, o que mostra o quão importante para o desenvolvimento da fundamentação teórica da matemática foi a teoria das séries de Fourier, podendo esta, então, ser considerada uma das teorias mais importantes da Análise.[1]

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma série trigonométrica é uma série da forma

T(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cdot\cos\left(\frac{n \pi t}{L}\right) + b_n \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi t}{L}\right)\right]

Seja f uma função periódica de período 2L , ou seja f(t + 2L) = f(t)  para todo t , a qual satisfaz às seguintes condições, conhecidas como as condições de Dirichlet:

  • A função é unívoca e contínua exceto em um número finito de descontinuidade ordinárias dentro do período 2L;
  • A função tem um número finito de máximos e mínimos dentro do período 2L;
  • A função é absolutamente integrável, ou seja, a integral  \int_{0}^{2L} |f(t)|\,dt converge;

Então define-se a Série de Fourier da função f como a série trigonométrica dada pelos coeficientes:

a_0=\frac{1}{L} \int_{c}^{c+2L} f(t)\,dt, a_n=\frac{1}{L} \int_{c}^{c+2L} f(t) \cos\left(\frac{n \pi t}{L}\right)\,dt, n\geq1 e b_n=\frac{1}{L} \int_{c}^{c+2L} f(t) \,\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi t}{L}\right)\,dt , n\geq1

para n inteiro. Observamos aqui que, como f periódica de período 2L , o intervalo de integração pode ser qualquer intervalo de comprimento 2L , sendo que geralmente são utilizados [0, 2L] ou [-L, L] .[2]

Os coeficientes a_n , n\geq0 e b_n , n\geq1 são conhecidos como coeficientes de Fourier.

Forma Harmônica:[editar | editar código-fonte]

Também podemos expressar a série de Fourier da função f como[3]

f(t) \sim A_0+ \sum_{n=1}^{\infty} A_n\cdot\cos(w_nt - \theta_n)

onde:

A_0= \frac{a_0}{2} e A_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}, n\geq1

Forma complexa:[editar | editar código-fonte]

Usando-se as expressões \sen z= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} e \cos z= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} a série de Fourier de f pode ser escrita como[3]

f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \,e^{ \frac {i \pi n t} {L}}

onde:

c_n =\frac{1}{2L}\int_{c}^{c+2L} f(t)\,e^{- \frac {i \pi n t} {L}}\,dt

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Para a função g(t) 2-periódica dada por

g(t)=\begin{cases}-1,\,-\pi<t<   0 \\ + 1,\,   0\leq t<\pi\end{cases}

encontramos os seguintes coeficientes de Fourier[4]

a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,dt=0 ,

a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos\left(\frac{n \pi t}{\pi}\right)\,dt=0

b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \,\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi t}{\pi}\right)\,dt = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^n}{n}

Logo, a série de Fourier de g é dada por

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^n}{n}\cdot\sen(nt)

Funções pares e Ímpares[editar | editar código-fonte]

As séries de Fourier transparecem em seus coeficientes a paridade das funções:[4]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

As séries de Fourier são capazes de representar uma família de funções periódicas envolvendo tanto funções contínuas como não contínuas, diferentemente das séries de Taylor, que só representam funções contínuas e deriváveis[5] . Algumas das funções representáveis podem ter significado físico, como os sinais musicais ou elétricos. Essas séries também são amplamente utilizadas na resolução de equações diferenciais parciais, como a equação da onda e do calor.

Para funções não periódicas a série de Fourier não está definida. Faz-se, então, o uso da transformada de Fourier, que possui uma possibilidade de aplicação mais ampla.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d Revista Matemática Universitária n° 11, junho de 1990, p. 27-52.
  2. a b c Figueiredo, Djairo Guedes de. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. Terceira. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1977. p. 16-18,40-42..
  3. a b Hsu, Hwei P.. Análise de Fourier. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Ltda, 1973. p. 04,16,52-54..
  4. a b Zill, Cullen, Dennis G., Michael R.. Equações Diferenciais. terceira. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. p. 213,215-216.
  5. Anton, Howard. Cálculo, um novo horizonte. sexta. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. p. 69-77.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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