Fórmula de Euler

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Interpretação geométrica da fórmula de Euler.

A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa, que mostra uma relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial. (A identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por:

$e^{ix} = \cos\left (x \right) + i\,\operatorname{sen}\left( x \right)$,

em que :

x é um número real;

e é a base do logaritmo natural;

$i=\sqrt{-1}$ é a unidade imaginária (número complexo);

sen e cos são funções trigonométricas.

A relação entre exponencial complexa e funções trigonométricas foi primeiro provada pelo matemático inglês Roger Cotes em 1714, na forma

$\ln(\cos x + i \sin x) = ix\,$

em que ln é o logaritmo natural

Prova utilizando cálculo

O ponto negro representa um número complexo. Seu valor absoluto é "r", a distãncia da origem. Set argumento é φ, seu ângulo em radianos

A função exponencial $e^{i\pi}$ pode ser definida como o limite de uma sequência $\left (1+ \frac{i\pi}{n} \right )^n$, quando n tende ao infinito. Nesta animação, "n" assume valores crescentes entre 1 e 100. À medida que n cresce, $\left (1+ \frac{i\pi}{n} \right )^n$ se aproxima de -1.

Uma propriedade conhecida das funções exponenciais é que elas são iguais às suas derivadas:

$\frac{d}{dx} e^x = e^x \$, onde "x" é um número real.

As funções exponenciais com números complexos também satisfazem esta mesma propriedade:

$\frac{d}{dz} e^z = e^z \$, onde "z" é um número complexo.

Portanto, pela regra da cadeia:

$\frac{d}{dx} e^{ix} = i e^{ix} \ .$

Então definimos uma nova função, que chamaremos de "f":

$f(x) = (\cos x - i \sin x) \cdot e^{ix} \ .$

Pela regra do produto, que vale também para funções que tenham como imagem números complexos, a derivada de f(x) será::

$\begin{align} \frac{d}{dx}f(x) &= (\cos x - i\sin x)\cdot\frac{d}{dx}e^{ix} + \frac{d}{dx}(\cos x - i\sin x)\cdot e^{ix} \\ &= (\cos x - i\sin x)(i e^{ix}) + (-\sin x - i\cos x)\cdot e^{ix} \\ &= (i\cos x + \sin x - \sin x - i\cos x)\cdot e^{ix} \\ &= 0 \ . \end{align}$

Portanto, f(x) deve ser uma função constante em x. Já que f(0)=1 (o que pode ser facilmente descoberto substituindo-se x por o na função),

$1 = (\cos x - i \sin x) \cdot e^{ix} \ .$

Multiplicando os dois lados por cos x + i sin x, obtemos

$\begin{align} \cos x + i \sin x &= (\cos x + i \sin x)(\cos x - i \sin x) \cdot e^{ix} \\ &= (\cos^2 x -(i \sin x)^2) \cdot e^{ix} = (\cos^2 x + \sin^2 x) \cdot e^{ix} = e^{ix} \ . \end{align}$

Prova utilizando série de Taylor

Para o estudo da fórmula de Euler necessitamos do conhecimento de expansão em séries de potência. Introduziremos uma grande ferramenta, sem uma análise profunda, que é o seguinte conceito:

A expansão em série de Taylor de uma função analítica $f(x)$ centrada em $a$ é representada como:

$f(x)=\sum_{n=o}^{\infty}{{C_n}}{(x-a)^n}$

com $|x - a| <R$ , onde

$C_n = \frac{{f^n}(a)}{n!}$

Usando esse conceito de expansão e tomando $f(x)=e^x$ em torno de $a=0$, teremos:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{{f^n}(0)}{x^n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}= 1+{\frac{x}{1!}}+{\frac{x^2}{2!}}+{\frac{x^3}{3!}}+{...}+{\frac{x^n}{n!}}$

para todo $x$ com intervalo de convergência de $(-\infty,\infty)$

Em $x = 1$, na equação acima, obtem-se a expressão para o número $e$, como uma soma de uma série infinita:

$e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = 1+{\frac{1}{1!}}+{\frac{1}{2!}}+{\frac{1}{3!}}+{...}$

Se admitirmos a validade de substituirmos $x$ por $ix$ na equação obteremos:

$e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!} = {\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)^n}\cdot{x^{2n}}}{(2n)!}} + i{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)^{n-1}}\cdot{x^{2n-1}}}{(2n-1)!}}$

A primeira parte da soma da equação anterior ($e^{ix}$) é a expansão do $cos(x)$ e a segunda é a expansão do $sen(x)$ em série de Maclaurin. Assim teremos a equação que ficou conhecida como fórmula de Euler

$e^{ix} = \cos\left ( x \right ) + i\,\operatorname{sen}\left ( x \right )$

que de forma mais generalizada pode ser escrita como:

$e^{iux} = \cos\left ( ux \right ) + i\,\operatorname{sen}\left ( ux \right )$.

Exemplo

Se tomarmos como $x=\pi=3,1415....$, então teremos um importante produto:

$e^{i\pi}=-1 \rightarrow -e^{i\pi}=1$

Ligações externas

• Prova da relação de Euler

Ver também

• Fórmula de De Moivre