Fórmula de Euler

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Logaritmo natural · Função exponencial

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conjectura de Schanuel

Interpretação geométrica da fórmula de Euler.

A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa, que mostra uma relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial. (A identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por:

e^{ix} = \cos\left (x \right) + i\,\operatorname{sen}\left( x \right),[1]

em que :

x é o argumento real (em radianos);
e é a base do logaritmo natural;
i=\sqrt{-1} é a unidade imaginária (número complexo);
sen e cos são funções trigonométricas.

A relação entre exponencial complexa e funções trigonométricas foi primeiro provada pelo matemático inglês Roger Cotes em 1714, na forma

\ln(\cos x + i \sin x) = ix

em que ln é o logaritmo natural[2]

Prova utilizando cálculo[editar | editar código-fonte]

O ponto negro representa um número complexo. Seu valor absoluto é "r", a distãncia da origem. Seu argumento é φ, seu ângulo em radianos
A função exponencial e^{i\pi} pode ser definida como o limite de uma sequência \left (1+ \frac{i\pi}{n} \right )^n, quando n tende ao infinito. Nesta animação, "n" assume valores crescentes entre 1 e 100. À medida que n cresce, \left (1+ \frac{i\pi}{n} \right )^n se aproxima de -1.

Uma propriedade conhecida das funções exponenciais é que elas são iguais às suas derivadas:

\frac{d}{dx} e^x = e^x, onde "x" é um número real.

As funções exponenciais com números complexos também satisfazem esta mesma propriedade[3] :

\frac{d}{dz} e^z = e^z, onde "z" é um número complexo.

Portanto, pela regra da cadeia:

 \frac{d}{dx} e^{ix} = i e^{ix} \ .

Então definimos uma nova função, que chamaremos de "f":

 f(x) = (\cos x - i \sin x) \cdot e^{ix} \ .

Pela regra do produto, que vale também para funções que tenham como imagem números complexos, a derivada de f(x) será::

\begin{align}
 \frac{d}{dx}f(x) &= (\cos x - i\sin x)\cdot\frac{d}{dx}e^{ix} + \frac{d}{dx}(\cos x - i\sin x)\cdot e^{ix} \\
       &= (\cos x - i\sin x)(i e^{ix}) + (-\sin x - i\cos x)\cdot e^{ix} \\
       &= (i\cos x + \sin x - \sin x - i\cos x)\cdot e^{ix} \\
       &= 0 \ .
\end{align}

Portanto, f(x) deve ser uma função constante em x. Já que f(0)=1 (o que pode ser facilmente descoberto substituindo-se x por 0 na função),

1 = (\cos x - i \sin x) \cdot e^{ix} \ .

Multiplicando os dois lados por cos x + i sin x, obtemos

 \begin{align}
\cos x + i \sin x &= (\cos x + i \sin x)(\cos x - i \sin x) \cdot e^{ix} \\
&=(\cos^2 x -(i \sin x)^2) \cdot e^{ix} = (\cos^2 x + \sin^2 x) \cdot e^{ix} = e^{ix} \ .
\end{align}

Prova utilizando série de Taylor[editar | editar código-fonte]

Para o estudo da fórmula de Euler necessitamos do conhecimento de expansão em séries de potência. Introduziremos uma grande ferramenta, sem uma análise profunda, que é o seguinte conceito:

A expansão em série de Taylor de uma função analítica f(x) centrada em a é representada como:

f(x)=\sum_{n=o}^{\infty}{{C_n}}{(x-a)^n}

com |x - a| <R , onde

C_n = \frac{{f^n}(a)}{n!}

Usando esse conceito de expansão e tomando  f(x)=e^x em torno de a=0, teremos:

e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{{f^n}(0)}{x^n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}= 1+{\frac{x}{1!}}+{\frac{x^2}{2!}}+{\frac{x^3}{3!}}+{...}+{\frac{x^n}{n!}}

para todo  x com intervalo de convergência de (-\infty,\infty)

Em x = 1, na equação acima, obtém-se a expressão para o número  e, como uma soma de uma série infinita:

e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = 1+{\frac{1}{1!}}+{\frac{1}{2!}}+{\frac{1}{3!}}+{...}

Se admitirmos a validade de substituirmos  x por ix na equação obteremos:

e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!} =
{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(-1)^n}\cdot{x^{2n}}}{(2n)!}} +
i{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)^{n-1}}\cdot{x^{2n-1}}}{(2n-1)!}}

A primeira parte da soma da equação anterior (e^{ix}) é a expansão do cos(x) e a segunda é a expansão do sen(x) em série de Maclaurin. Assim teremos a equação que ficou conhecida como fórmula de Euler

e^{ix} = \cos\left ( x \right ) + i\,\operatorname{sen}\left ( x \right )

que de forma mais generalizada pode ser escrita como:

e^{iux} = \cos\left ( ux \right ) + i\,\operatorname{sen}\left ( ux \right ).

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Se tomarmos como x=\pi=3,1415...., então teremos um importante produto[1] :

e^{i\pi}=-1 \rightarrow -e^{i\pi}=1

Referências

  1. a b SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Matemática para Economistas. Porto Alegre: Bookman, 2005. Reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Seção A3.4, páginas 871 e 872.
  2. John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.
  3. Daniels, Doug. Complex Differentiation. Página visitada em 15 May 2011.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]