Função exponencial

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Esboço do gráfico de uma função exponencial.

Chama-se função exponencial a função {\textstyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_+^*} tal que {\textstyle f(x) = a^x } em que {\textstyle a\in\mathbb{R}}, {\textstyle  0 < a \neq 1}. O número a é chamado de base da função. A função exponencial {\textstyle f(x) = a^x } pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se {\textstyle a > 1 }, a função é crescente. Caso {\textstyle  0 < a < 1 } a função é decrescente.[1] [2]

Definição formal[editar | editar código-fonte]

A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é[3] ,

{{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n},

Esta definição implica as seguintes propriedades:

  •  a^{n+m}=a^n a^m;
  •  a^{nm}=\left(a^n\right)^m.

A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:

  •  a^{0}=1,\quad \forall a\neq 0;
  •  a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \quad \forall a\neq 0,~~n\in\mathbb{N};
  •  a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}, \quad \forall a> 0,~~n\in\mathbb{N};
  •  a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}, \quad \forall a> 0,~~n\in\mathbb{Z}~~m\in\mathbb{N}.

A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:[4]

a^x=\sup_{\frac{n}{m}< x}a^{\frac{n}{m}},a>1;
a^x=\inf_{\frac{n}{m}< x}a^{\frac{n}{m}},a<1.

De fato, a função y = ax é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:

  • f(x+y)=f(x)f(y);
  • f(1)=a.

No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:[4]

  • a^x = e^{\ln(a)x}.

A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:

  • a^{1} =  a
  • a^{x + y} =  a^x a^y, ~~ \forall x,y\in\mathbb{R}

A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:

  1. a^{0} =  \frac{a^{1+0}}{a^1}=\frac{a^{1}}{a^1}=1,
  2. a^{-x} =  \frac{a^{(-x)+x}}{a^x}=\frac{a^{0}}{a^x}=\frac1{a^x}, ~~ \forall x\in\mathbb{R}

Propriedades da função exponencial[editar | editar código-fonte]

Função exponencial crescente.
Função exponencial decrescente.

A função exponencial de base a, f(x) = a^x, tem as seguintes propriedades:[1] [2]

  1. f(x) > 0 para todo x\in \mathbb{R};
  2. f(x) é função crescente se, e somente se, a > 1;
  3. f(x) é função decrescente se, e somente se, 0 < a < 1;
  4. f(x) é injetora;
  5. f(x) é ilimitada superiormente;
  6. f(x) é contínua;
  7. f(x) é sobrejetora;
  8. f(x) é bijetora, isto é, possui uma função inversa, o logaritmo, denotada \log_a(x).

Demonstrações das propriedades[editar | editar código-fonte]

Propriedade 1

Mostraremos, primeiro, que f(x) \neq 0 para todo x\in \mathbb{R}. Com efeito, notamos que f(0) = 1 \neq 0. Suponhamos, por contradição, que f(x) = a^x = 0 para algum x\neq 0. Mas, daí temos 0 = a^x a^{-x + 1} = a > 0, uma contradição. Concluímos que f(x) \neq 0 para todo x\in \mathbb{R}.

Como consequência f(x) > 0 para todo x\in \mathbb{R}, uma vez que f(0) = a^0 = 1.

Propriedade 2

Sejam x,y\in \mathbb{R}. Suponhamos, sem perda de generalidade, que x < y. Tomamos, então, p > 0\in\mathbb{R} tal que y = x + p. Segue que a^y - a^x = a^{x+p} - a^{x} = a^x(a^p - 1). Pela propriedade 1, temos a^x > 0. Logo, a^x < a^y se, e somente se, a^p > 1. Como p > 0, a^p > 1 se, e somente se, a > 1. Concluímos que, f(x) < f(y) se, e somente se, a > 1.

Propriedade 3

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 2.

Propriedade 4

Consequência imediata das propriedades 2 e 3.

Propriedade 5

Seja f(x) = a^x com a > 1. Tomamos d\in\mathbb{R} tal que a = 1 + d. Assim, pela desigualdade de Bernoulli, temos a^n > 1 + nd. Logo, dado qualquer L > 0, se escolhemos x como o menor inteiro maior que \frac{L-1}{d}, temos f(x) > L, i.e. f(x) é ilimitada superiormente. A demonstração é análoga para 0 < a < 1.

Propriedade 6

Para qualquer c\in\mathbb{R}, temos f(c) está bem definida. Além disso, temos:

\lim_{x\to c} f(x) = \lim_{h\to 0} f(c+h) = \lim_{h\to 0} a^{c+h} = \lim_{h\to 0} a^c a^h = a^c \lim_{h\to 0} a^h

Como, \lim_{h\to 0} a^h = 1, seque que:

\lim_{x\to c} f(x) = f(c) .
Lema

Dados um número real a\neq 1 e um intervalo I = [c,~d]\subset\mathbb{R}_+^*, com d > c, então existe um número racional r\in\mathbb{Q} tal que a^r\in I.[1]

Suponhamos, sem perda de generalidade, que a, c > 1. Pelas propriedades 2 e 5, existe um número natural n_1\in\mathbb{N} tal que:

c < d < a^{n_1}.

Como consequência, existe um número natural n_2\in\mathbb{N} tal que:

1 < a < \left(1 + \frac{d - c}{a^{n_1}}\right)^{n_2}.

Daí, segue que:

1 < a^{\frac{1}{n_2}} < 1 + \frac{d - c}{a^{n_1}} \Rightarrow 0 < a^{n_1} \left(a^{1/n_2} - 1\right) < d - c.

Assim:

\frac{m}{n_2} \leq n_1 \Rightarrow a^{\frac{m}{n_2}}\left(a^{\frac{1}{n_2}} - 1\right) = a^{\frac{m+1}{n_2}} - a^{\frac{m}{n_2}} < d - c.

Desta forma, temos que:

a^0 < ~a^{\frac{1}{n_2}} < ~a^{\frac{2}{n_2}} < ~\cdots < ~a^{n_1}

é uma sequência finita, cujos termos são extremos de intervalos consecutivos de tamanho menor que o do intervalo I = [c,~d]. Logo, pelo menos um dos termos desta sequência deve pertencer a I, i.e. para algum m, temos a^r\in I com r = \frac{m}{n_2}.

Propriedade 7

Seja y\in\mathbb{R}_+^*. Suponhamos que a > 1. Usando o lema anterior construímos uma sequência não-decrescente limitada (r_n)_{n\in\mathbb{N}} tal que a^{r_n}\in \left[y - \frac{1}{n},~y\right]. Pela completude dos números reais, temos que r_n \to x quando n \to \infty. Segue da continuidade de f(x) (propriedade 6), que:

a^x = \lim_{n\to \infty} a^{r_n} = y

i.e., dado y\in\mathbb{R}_+^*, existe x\in\mathbb{R} tal que f(x) = a^x = y. A demonstração para 0 < a < 1 segue raciocínio análogo.

Propriedade 8

Consequência imediata das propriedades 4 e 7.

A função exponencial natural[editar | editar código-fonte]

Esboço do gráfico da função exponencial natural.

A função exponencial natural é a função exponencial cuja base é o número de Euler. Denotado por ex ou exp(x), a função exponencial natural é uma das mais importantes funções da matemática e pode ser definida de pelo menos duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:[4]

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots
e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n

Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

O valor da base da exponencial natural, e , é aproximadamente  2{.}718281828.

A exponencial natural satisfaz as seguinte propriedades:[4]

  • A função y = ex é contínua e diferenciável para todo x.
  • A derivada da função y = ex é a própria função função y = ex.
  • A função y = ex é positiva e crescente para todo número real x.
  • ex+y = ex ey
  • A curva y = ex jamais toca o eixo x, embora se aproxime de zero para valores negativos de x, isto é:
\lim_{x\to-\infty}e^x=0
  • Os valores de y=ex crescem ilimitadamente, isto é:
\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty
  • A função y=ex cresce mais rápido que qualquer potência, isto é, para todo n natural, temos:
\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0.
  • A função y = e^x é igual a sua derivada, i.e.:
\frac{d}{dx}e^x = e^x.

Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

a^x = e^{x \ln a}

Para todo a > 0 e x \in \mathbb{R}.

Derivada e integral da função exponencial[editar | editar código-fonte]

Comportamento da função exponencial.

A derivada da função exponencial de base a, f(x) = a^x é dada por:[5] [6]

\frac{d}{dx}f(x) = a^x\ln a.

De fato, como a^x = e^{(\ln a)x} temos da regra da cadeia que:

\frac{d}{dx} a^x = \frac{d}{dx}e^{(\ln a) x} = (\ln a)e^{(\ln a) x} = a^x \ln a.

De forma análoga, obtermos a derivada segunda:

\frac{d^2}{dx^2} a^x = \frac{d}{dx} a^x \ln a=a^x (\ln a)^2

Como (\ln(a))^2 é uma constante positiva, observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a x, isto é a função exponencial é uma função convexa.

A integral indefinida da função exponencial é dada por:[5] [6]

\int a^x dx = \int e^{\ln a x} dx = \frac1{\ln a} e^{\ln a x} + C = \frac1{\ln a} a^x +C.

Referências

  1. a b c Lima, E.L. et al.. A matemática do ensino médio - vol. 1. [S.l.]: SBM, 2006. ISBN 8585818107.
  2. a b Iezzi, G. et al.. Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 2. 10. ed. [S.l.]: Atual, 2013. ISBN 9788535716825.
  3. José Adelino Serrasqueiro, Tratado de Álgebra Elementar, p.7, [ver wikisource]
  4. a b c d Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. 3. ed. [S.l.: s.n.], 1976. Capítulo 8.
  5. a b Stewart, James. Cálculo - vol. 1. 7. ed. [S.l.]: Cengage, 2013. ISBN 978-8522112586.
  6. a b Anton, H. et al.. Cálculo - Volume I. 10. ed. [S.l.]: Bookman, 2014. ISBN 9788582602256.

Ver também[editar | editar código-fonte]