Função exponencial

Funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente.
Chama-se função exponencial a função ƒ:R→R₊^* tal que ƒ(x)= a^x em que a ∈ R, 0<a≠1.
O a é chamado de base e o ^x de expoente.

A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base a for > 1, a função é crescente; Se a base a for um número real entre 1 e 0, (0<a< 1) a função é decrescente.

Propriedades da Função Exponencial

• Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que a^x=a^t↔ x = t;
  
• A função exponencial ƒ(x)=a^x é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a>1;
  
• A função exponencial ƒ(x)=a^x é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0<a<1;
  
• Toda função exponencial, isto é, ƒ(x)=a^x com a ∈ R₊^* e a ≠ 1 é bijetora;
  

A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como e^x (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:

A curva e^x jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste.

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$

$e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n$

Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

O valor de e¹ é aproximadamente 2.718281828

Se x é real, então e^x é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

a^x = e^xln a

Para todo a > 0 e $x \in \mathbb{R}$.

A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.

As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:

a⁰ = 1

a¹ = a

a^{x + y} = a^xa^y

$a^{x y} = \left( a^x \right)^y$

${1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}$

a^xb^x = (ab)^x

Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:

${1 \over a} = a^{-1}$

$\sqrt[c]{a}^b = a^{b \over c}$

Função exponencial e equações diferenciais

A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:

${d \over dx} a^x = (\ln a) a^x$

Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.

A função exponencial então resolve a equação diferencial básica

${dy \over dx} = y$

e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais. Essas equações incluem a equação de Schrödinger e a equação de Laplace assim como as equações para o movimento harmônico simples.

Função exponencial no plano complexo

Quando considerada como uma função definida no plano complexo, a função exponencial retém as importantes propriedades:

e^{z + w} = e^ze^w

e⁰ = 1

$e^z \ne 0$

${d \over dz} e^z = e^z$

para todos z e w. A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário 2πi que pode ser escrita como

e^{a + bi} = e^a(cos b + isin b)

onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão que estendendo o logaritmo neperiano a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral:: z^w = e^wln z para todos os números complexos z e w.

Isto é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes.

É fácil ver, que a função exponencial descreve qualquer curva no plano complexo a uma espiral logarítmica no plano complexo com centro em 0, nada como o caso de uma reta paralela com os eixos reais ou imaginários descrevem uma curva ou um círculo.

Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach

A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach, e em particular para matrizes quadradas. Neste caso temos

e^{x + y} = e^xe^y

se xy = yx (deveríamos adicionar a fórmula geral envolvendo comutadores aqui)

e⁰ = 1

e^x é invertível com inverso e^-x

a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·e^x.

No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função exponencial é freqüentemente considerada como uma função de um argumento real:

f(t) = e^tA

onde A é um elemento fixo da álgebra e t é qualquer número real. Essa função tem importantes propriedades:

f(s + t) = f(s)f(t)

f(0) = 1

f'(t) = Af(t)

Mapa exponencial nas álgebras de Lie

O "mapa exponencial" que passa uma álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia. De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um grupo de Lie de todos os números positivos reais com multiplicação, a função exponencial para argumentos reais é um caso especial da situação da álgebra de Lie. Similarmente, desde que a álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais quadradas pertence ao grupo de Lie de todas as matrizes quadradas invertíveis, a função para matrizes quadradas é um caso especial do mapa exponencial da álgebra de Lie.

Ver também

• Crescimento exponencial