Parte inteira

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Função chão
Função teto

Em matemática, a função piso, denotada por \lfloor x \rfloor , converte um número real x no maior número inteiro menor ou igual a x. Enquanto que a função tecto (português europeu) ou teto (português brasileiro), denotada por \lceil x \rceil , converte um número real x no menor número inteiro maior ou igual a x.[1] As definições formais para essas função são

 \lfloor x \rfloor = \max \, \{m\in\mathbb{Z}\mid m\le x\},
 \lceil x \rceil = \min \, \{n\in\mathbb{Z}\mid n\ge x\}.

O conceito de parte inteira ou valor inteiro de um número é definido de duas maneiras por diferentes autores[2] . Para Graham et al.[3] , a parte inteira de x é o mesmo que \lfloor x \rfloor . Para Spanier e Oldham, a parte inteira de x é igual a \lfloor x \rfloor para x positivo e igual a \lceil x \rceil para x negativo. A segunda definição será representada neste artigo como \mathrm{int} (x).

O mesmo acontece para parte fraccionária ou valor fraccionário (português europeu) (ou parte fracionária ou valor fracionário (português brasileiro)). Para Graham et al., a parte fracionária de x é igual a x - \lfloor x \rfloor . Para Spanier e Oldham, a parte fracionária de x é igual a x - \mathrm{int} (x). A segunda definição será representada neste artigo como \mathrm{frac} (x).

Tanto os nomes floor e ceiling (piso e teto em inglês) como as notações \lfloor x \rfloor e \lceil x \rceil foram introduzidos por Kenneth E. Iverson em 1962[1] .

Propriedades da função piso[editar | editar código-fonte]

  • Tem-se
 \lfloor x\rfloor \le x <\lfloor x \rfloor + 1
com igualdade à esquerda se e só se x for inteiro.
  • a função piso é idempotente: \lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor.
  • Para qualquer inteiro k e real x,
 \lfloor {k+x} \rfloor = k + \lfloor x\rfloor.
  • O habitual arredondamento de x ao inteiro mais próximo expressa-se como piso(x + 0,5).
  • A função piso não é contínua, mas semi-contínua. É linear por troços e a sua derivada é zero onde existe, ou seja, em todos os não inteiros.
  • Se x for um real e n um inteiro, então nx se e só se n ≤ piso(x). A função piso é parte de uma correspondência de Galois; é o adjunto superior da função que aplica os inteiros nos reais.
  • Para os reais não inteiros, a função piso tem uma representação de série de Fourier
\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.
  • Se m e n são inteiros positivos coprimos, então
\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2
\lfloor \log_{10}(k) \rfloor + 1
  • É fácil ver que:
\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor
  • e:
x \leq \lceil x \rceil <x + 1
  • É possível verificar que:
 \int {\lfloor x\rfloor}dx=\lfloor x\rfloor(x-\frac{\lfloor x\rfloor}{2}-\frac{1}{2})+C

Referências

  1. a b Graham et al., p. 67
  2. MathWorld, Integer Part
  3. Graham et al., p. 70

Bibliografia[editar | editar código-fonte]