Parte inteira

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Função chão
Função tecto

Em matemática, as funções ditas de parte inteira (chão e tecto, no Brasil teto) convertem números reais em inteiros desprezando a parte decimal.[1]

A função chão de um número real x, denotada \lfloor x \rfloor, é uma função que retorna o maior inteiro menor ou igual a x. Formalmente, para todos os reais x,

\lfloor x \rfloor=\max\, \{n\in\mathbb{Z}\mid n\le x\}.

Por exemplo, chão(2.9) = 2, chão(−2) = −2 e chão(−2.3) = −3. Para x não negativo, o nome habitual da função é parte inteira ou valor inteiro de x. A função x -\lfloor x\rfloor, também escrita como x mod 1, ou {x}, é chamada parte fraccionária de x.

A semelhante função tecto, denotada \lceil x \rceil, retorna o menor inteiro que seja maior ou igual a 'x, ou seja,

\lceil x \rceil=\min\{n\in\mathbb{Z}\mid x\le n\}.

Por exemplo, tecto(2.3) = 3, tecto(2) = 2 e tecto(−2.3) = −2.

Os nomes chão e tecto (floor e ceiling) foram introduzidos por Kenneth E. Iverson em 1962.[2]

[editar] Propriedades da função chão

  • Tem-se
\lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1
com igualdade à esquerda se e só se x for inteiro.
  • a função chão é idempotente: \lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor.
  • Para qualquer inteiro k e real x,
\lfloor {k+x} \rfloor = k + \lfloor x\rfloor.
  • O habitual arredondamento de x ao inteiro mais próximo expressa-se como chão(x + 0,5).
  • A função chão não é contínua, mas semi-contínua. É linear por troços e a sua derivada é zero onde existe, ou seja, em todos os não inteiros.
  • Se x for um real e n um inteiro, então n ≤ x se e só se n ≤ chão(x). A função chão é parte de uma correspondência de Galois; é o adjunto superior da função que aplica os inteiros nos reais.
  • Para os reais não inteiros, a função chão tem uma representação de série de Fourier
\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.
  • Se m e n são inteiros positivos coprimos, então
\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2
\lfloor \log_{10}(k) \rfloor + 1
  • É fácil ver que:
\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor
  • e:
x \leq \lceil x \rceil < x + 1
  • Para qualquer inteiro k, verifica-se:
\lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil = k.

Notas

  1. ↑ Ronald Graham, Donald Knuth e Oren Patashnik. "Concrete Mathematics". Addison-Wesley, 1999. Cap. 3, "Integer Functions".
  2. ↑ Kenneth E. Iverson. "A Programming Language". Wiley, 1962.
Obtido em "http://pt.wikipedia.org/wiki/Parte_inteira"
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