Função convexa

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Gráfico de uma função convexa

Em matemática, uma função f de [a,b] em R é dita convexa se a região sobre o seu gráfico, ou seja, o conjunto:

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,|\,y\geq f(x)\}

for um conjunto convexo. Isto equivale a afirmar que, para quaisquer x e y pertencentes a [a,b] e para todo t ∈ [0,1], tem-se:

f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)

Ou seja, uma função é convexa se qualquer média ponderada entre pontos do domínio resulte em um valor que é no máximo igual à média ponderada dos pontos originais da imagem correspondentes aos pontos do domínio. Uma função diz-se estritamente convexa se, para quaisquer x e y pertencentes a [a,b] e para todo t ∈ (0,1), se tiver:

f(tx+(1-t)y)<t f(x)+(1-t)f(y)

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Seja f: A \rightarrow \mathbb{R}, definida no conjunto convexo A \subseteq \mathbb{R}^N. Sejam também dois pontos x e y do domínio e a constante \alpha \in \left [ 0,1 \right ]. Então:

A function that is not quasiconvex: the set of points in the domain of the function for which the function values are below the dashed red line is the union of the two red intervals, which is not a convex set.
A função será... Se e somente se... Exemplo visual
Convexa f(tx+(1-t)y){\color{Red}\leq}t f(x)+(1-t)f(y)
Uma função (em preto) é convexa se e apenas se a região acima dela (em verde) é um conjunto convexo
Estritamente convexa Exemplo
Côncava f(tx+(1-t)y) {\color{Red}\geq} t f(x)+(1-t)f(y)[1]
O gráfico de uma função que é, ao mesmo tempo, côncava e quasiconvexa com os números reais não-negativos.
Estritamente côncava (e portanto também côncava) f(tx+(1-t)y) {\color{Red}>} t f(x)+(1-t)f(y)[1]
Quasicôncava f \left ( x \right ) \ge t e f \left ( y \right ) \ge t implicarem necessariamente que f \left [ \alpha x+ \left (1- \alpha \right ) y \right ] {\color{Red}\ge} t [2]
A função densidade de probabilidade da distribuição normal é quasicôncava, mas não côncava
Estritamente quasicôncava (e portanto também quasicôncava) f \left ( x \right ) \ge t , f \left ( y \right ) \ge t e x \ne y implicarem necessariamente que f \left [ \alpha x+ \left (1- \alpha \right ) y \right ] {\color{Red}>} t [2]
Quasiconvexa f \left ( x \right ) \le t e f \left ( y \right ) \le t implicarem necessariamente que f \left [ \alpha x+ \left (1- \alpha \right ) y \right ] {\color{Red}\le} t [2]
Uma função quasiconvexa que não é convexa
Uma função quasilinear é tanto quasiconvexa quanto quasicôncava.

Propriedades das funções convexas[editar | editar código-fonte]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • A função f(x)=x^2 é convexa.
  • A função f(x)=e^x é convexa.
  • O valor absoluto é uma função convexa \left(f(x)=|x|\right)

Extensões[editar | editar código-fonte]

Seja \mathbb{V} um espaço vetorial e C um conjunto convexo contido em \mathbb{V}, então um função f:C\to\mathbb{R} é dita convexa se:

f(tx+(1-t)y) \leq t f(x)+(1-t)f(y) para todo t em [0,1].

E estritamente convexa se:

f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y) para todo t em (0,1) e x\neq y.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

  • Funções convexas são amplamente utilizadas para demonstrar desigualdades tais como a desigualdade de Young.
  • A convexidade desempenha um papel muito importante na aplicação de métodos variacionais para EDPs não-lineares.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b <MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory.Oxford university press, 1995. Página 930.
  2. a b c <MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry. Microeconomic Theory.Oxford university press, 1995. Página 933.