Logaritmo natural

O gráfico do logaritmo natural.

O logaritmo natural é o logaritmo de base e, onde e é um número irracional aproximadamente igual a 2,718281828459045... chamado de número de Euler. É, portanto, a função inversa da função exponencial.

O logaritmo natural é definido para todos os números reais estritamente positivos $x$, e admite uma extensão como uma função complexa analítica em $\mathbf{C}\backslash \{0\}$

Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.

Apesar do logaritmo natural ser usualmente chamado de logaritmo neperiano, do nome de seu inventor, o matemático escocês John Napier (ou John Naper), este utilizou a base 1/e e não a base e.

Origem

Em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar dos exercícios tipo multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.

Observando-se (ver exponenciação) que:

$a^{(x + y)} = a^x \ a^y$

se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo $u = a^x,$ multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma:

$u = a^x, v = a^y, u\ v = a^{(x + y)}$

O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno $(x<1)$)

$a^x \approx 1 + k x$

sendo a constante k dependente apenas de a mas não de x. Por exemplo, para a = 2, $k \approx 0.7$ e para a = 10, $k \approx 2.3.$

A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.

Uma definição precisa em $\mathbf{R}$

Uma maneira de definir o logaritmo natural:

$ln(x):\mathbf{R}^{+}\to\mathbf{R}$

é através da integral:

$\ln(x):=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}$

Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logarítmica, devemos estabelecer:

• $\mathbf{ln}(1)=0$
• $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b), \forall a,b>0$
• $\mathbf{ln}(x)$ é uma função contínua.

A dificuldade reside apenas em mostrar a segunda propriedade, então vejamos:

$\ln(ab)=\int_{1}^{ab}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{a}\frac{dt}{t}+\int_{a}^{ab}\frac{dt}{t}$

A primeira parcela desta soma é $\ln(a),$ e segunda parcela pode ser resolvida pela substituição $u=t/a,$ portanto:

$\ln(ab)=\ln(a)+\int_{1}^{b}\frac{du}{u}$

segue que $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$

Sabemos então que $\ln(x)=log_{b}(x)$ para alguma base $b$ a ser determinada.

Da simples definição temos:

$\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}$

Seja $b^x$ a função inversa de $\ln(x),$ então, usando a fórmula $\frac{d}{dx}f^{-1}(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))},$ obtemos:

$\frac{d}{dx}b^x=b^x$

Portanto $b=e,$ onde $e$ é o número de Euler.

Convenções de notação

Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" para significar log_e(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log₁₀(x)"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de x. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "log_e(x)" quando querem indicar o logaritmo natural de x, e "log(x)" para log₁₀(x) e, em Computação, log(x) para log₁₀(x) e lg(x) para log₂(x). Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado para log₁₀(x) por pessoas que usam log(x) com um l minúsculo para log_e(x).

Função logarítmica complexa

Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa $z$ pela equação:

$\ln z$ = $\ln r$ + $i$ ( $\theta$ ± $2k\pi$ )

onde $r$ é o módulo e $\theta$ é o argumento medido em radianos do número complexo$z$; $k = (1, 2, 3,...)$ e $\ln$ $r$ define o logaritmo natural real positivo de $r.$

Assim, a função $ln$ $z$ é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais. Chamamos de valor principal de $ln$ $z$ o número definido por:

$\ln z = \ln r$ + $i$ $\theta$

Derivada da função logarítmica

Dada a função:

$f(x) = ln (x)$

a sua derivada é:

$f'(x) = \frac{1}{x}$

Integral da função logarítmica

Dada a função:

$\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C$

esta integral pode ser obtida pela aplicação da integração por partes, ou seja:

$\int \ln (x) dx = \int (x)' \ln(x) dx = x \ln(x) - \int x (\ln(x))' dx.$