Logaritmo natural

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O gráfico do logaritmo natural.

O logaritmo natural é o logaritmo de base e, onde e é um número irracional aproximadamente igual a 2,718281828459045... chamado de número de Euler. É, portanto, a função inversa da função exponencial.

O logaritmo natural é definido para todos os números reais estritamente positivos x, e admite uma extensão como uma função complexa analítica em \mathbf{C}\backslash \{0\}

Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.

Apesar do logaritmo natural ser usualmente chamado de logaritmo neperiano, do nome de seu inventor, o matemático escocês John Napier (ou John Naper), este utilizou a base 1/e e não a base e.

Origem[editar | editar código-fonte]

Em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar de exercícios tais como multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.

Observando-se (ver exponenciação) que:

a^{(x + y)} = a^x \ a^y

se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo u = a^x, multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma:

 u = a^x, v = a^y, u\ v = a^{(x + y)}

O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno (x<1))

a^x \approx 1 + k x

sendo a constante k dependente apenas de a mas não de x. Por exemplo, para a = 2, k \approx 0.7 e para a = 10, k \approx 2.3.

A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.

Uma definição precisa em \mathbf{R}[editar | editar código-fonte]

Uma maneira de definir o logaritmo natural:

ln(x):\mathbf{R}^{+}\to\mathbf{R}

é através da integral:

\ln(x):=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}

Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logarítmica, devemos estabelecer:

  • \mathbf{ln}(1)=0
  • \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b), \forall a,b>0
  • \mathbf{ln}(x) é uma função contínua.

A dificuldade reside apenas em mostrar a segunda propriedade, então vejamos:

\ln(ab)=\int_{1}^{ab}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{a}\frac{dt}{t}+\int_{a}^{ab}\frac{dt}{t}

A primeira parcela desta soma é \ln(a), e segunda parcela pode ser resolvida pela substituição u=t/a, portanto:

\ln(ab)=\ln(a)+\int_{1}^{b}\frac{du}{u}

segue que \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)

Sabemos então que \ln(x)=log_{b}(x) para alguma base b a ser determinada.

Da simples definição temos:

\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}

Seja b^x a função inversa de \ln(x), então, usando a fórmula \frac{d}{dx}f^{-1}(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}, obtemos:

\frac{d}{dx}b^x=b^x

Portanto b=e, onde e é o número de Euler.

Convenções de notação[editar | editar código-fonte]

Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" para significar loge(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log10(x)"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de x. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "loge(x)" quando querem indicar o logaritmo natural de x, e "log(x)" para log10(x) e, em Computação, log(x) para log10(x) e lg(x) para log2(x). Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado para log10(x) por pessoas que usam log(x) com um l minúsculo para loge(x).

Função logarítmica complexa[editar | editar código-fonte]

Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa z pela equação:

\ln z = \ln r + i ( \theta ± 2k\pi )

onde r é o módulo e \theta é o argumento medido em radianos do número complexoz; k = (1, 2, 3,...) e \ln r define o logaritmo natural real positivo de r.

Assim, a função ln z é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais. Chamamos de valor principal de ln z o número definido por:

\ln z = \ln r + i \theta

Derivada da função logarítmica[editar | editar código-fonte]

Dada a função:

f(x) = ln (x)

a sua derivada é:

f'(x) = \frac{1}{x} dx/dt

Integral da função logarítmica[editar | editar código-fonte]

Dada a função:

\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C

esta integral pode ser obtida pela aplicação da integração por partes, ou seja:

\int \ln (x) dx = \int (x)' \ln(x) dx = x \ln(x) - \int x (\ln(x))' dx.
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