Identidade de Euler

Interpretação geométrica da identidade de Euler.

Em matemática, a identidade de Euler é a seguinte equação:

$e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!$

Segundo Richard P. Feynman, seria a identidade mais bela de toda a Matemática. A equação aparece na obra de Leonhard Euler Introdução, publicada em Lausanne em 1748. Nesta equação, e é a base do logaritmo natural, $i$ é a unidade imaginária (número imaginário com a propriedade i ² = -1), e $\pi$ é a constante de Arquimedes pi (π, a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência).

A identidade é um caso especial da fórmula de Euler da análise complexa, que afirma que

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$

para qualquer número real $x$. Para $x = \pi$ tem-se

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin\pi \,\!$

e como cos(π) = −1 e sin(π) = 0 por definição, obtém-se

$e^{i \pi} = -1 \,\!$

$e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!$

A beleza da equação é que ela relaciona cinco números fundamentais da matemática: e, pi, i, 0 e 1; e as operações base da matemática: adição, multiplicação e exponenciação.

Prova da fórmula de Euler

Utilizando a série de Taylor como guia, definimos:

$e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \left ( \frac{z^n}{n!} \right ) = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} \cdots$

Resulta que essa função exponencial complexa tem as mesmas propriedades que a função exponencial real. Disso concluímos que $e^{z_1 + z_2} = e^{z_1} .e^{z_2}$ e se fizermos $z = iy \quad$ onde $y \quad$ é um número real, obteremos:

$e^{iy} = 1 + iy + \left ( \frac{(iy)^2}{2!} \right ) + \left ( \frac{(iy)^3}{3!} \right ) + \left ( \frac{(iy)^4}{4!} \right ) + \left ( \frac{(iy)^5}{5!} \right ) \cdots = 1 + iy - \left ( \frac{y^2}{2!} \right ) - i\left ( \frac{y^3}{3!} \right ) + \left ( \frac{y^4}{4!} \right ) + i\left ( \frac{y^5}{5!} \right ) \cdots$

$= 1 - \left ( \frac{y^2}{2!} \right ) + \left ( \frac{y^4}{4!} \right ) - \left ( \frac{y^6}{6!} \right ) \cdots + i( y - \left ( \frac{y^3}{3!} \right ) + \left ( \frac{y^5}{5!} \right ) \cdots) = \cos y + i \sin y$