Logaritmo

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O gráfico do logaritmo binário é uma hipérbole que atravessa o eixo das abcissas em 1 e tem como outras coordenadas (2, 1), (4, 2) e (8, 3). O gráfico também tende a tocar o eixo das ordenadas, mas isso nunca ocorre.[1]

Na matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número.[2] Por exemplo, o logaritmo de 1000 na base 10 é 3 porque 10 ao cubo é 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 103). De maneira geral, para quaisquer dois números reais b e x, onde b é positivo e b ≠ 1,[3]

 y=b^x\Leftrightarrow x=\log_b(y) .[4] [5]

O logaritmo da base 10 (b = 10) é chamado de logaritmo comum (ou decimal)[6] e tem diversas aplicações na ciência e engenharia. O logaritmo natural (ou neperiano) tem a constante irracional e (≈ 2.718) como base e é utilizado na matemática pura, principalmente em cálculo diferencial. Ainda há o logaritmo binário, no qual se usa base 2 (b = 2) e é importante para a ciência da computação.[7]

O conceito de logaritmo foi introduzido por John Napier no início do século XVII a fim de simplificar os cálculos.[8] Eles foram rapidamente adotados por navegadores, cientistas, engenheiros e outros profissionais para facilitar seus cálculos, através do uso de réguas de cálculo e tabelas logarítmicas. Algumas etapas tediosas da multiplicação com vários dígitos podem ser substituídas por tabelas de pesquisas ou por somas mais simples devido ao fato de o logaritmo de um produto ser o somatório dos logaritmos dos fatores:[9]

 \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y), desde que b, x e y sejam positivos e b ≠ 1.

A atual noção de logaritmo advém de Leonhard Euler, que os relacionou com a função exponencial no século XVIII.[10] As escalas logarítmicas permitem reduzir grandezas de elevada amplitude para grandezas menores. Por exemplo, o decibel é uma unidade logarítmica que indica a proporção de uma quantidade física (geralmente energia ou intensidade) em relação a um nível de referência, isto é, estabelece uma razão entre a quantificação da energia liberada e a amplitude.[11] Em química, o potencial hidrogeniônico (pH) mede a acidez e basicidade das substâncias. Os logaritmos ainda são comuns em fórmulas científicas, na teoria da complexidade computacional, em figuras geométricas chamadas fractais.[12] [13] Eles descrevem intervalos musicais, aparecem em fórmulas que enumeram os números primos, informam vários modelos da psicofísica e podem auxiliar na perícia contábil.[14]

No mesmo caminho, como o logaritmo é o inverso da exponenciação, o logaritmo complexo é a função inversa da função exponencial aplicada nos números complexos. O logaritmo discreto é uma outra variável; ele é utilizado na criptografia assimétrica.[15]

Razão e definição[editar | editar código-fonte]

A ideia dos logaritmos é reverter a operação de exponenciação, que é baseada em um número sobre uma potência.[16] A junta de exemplo, a potência de três (ou ao cubo) de 2 é 8, porque 8 é o produto dos três fatores de 2:[17]

2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8.

Portanto, ele resulta que o logaritmo de 8, rigorosamente, é a base de 2 sobre 3, que é:[18] log2 8 = 3.

Exponenciação[editar | editar código-fonte]

A potência de três de qualquer número b é o produto de três fatores de b. Geralmente, elevando b a enésima potência, quando n é um número natural, é realizado a multiplicação de n fatores de b. A enésima potência de b é escrita como bn, que significa:[19]

b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \text{ fatores}}.

A exponenciação pode ser estendida para by, onde b é um número positivo e o expoente' y é qualquer número real.[20] Por exemplo, b−1 é o inverso multiplicativo de b, ou seja, 1/b.[21]

Definição[editar | editar código-fonte]

O logaritmo de um número positivo real x, considerando a base b como um número positivo real diferente de 1, é o expoente pelo qual b deve ser elevado no campo x.[22] Em outras palavras, o logaritmo de x na base b é a solução da equação de y.[23]

b^y = x.

O logaritmo é denotado "logb(x)" (pronunciado como "o logaritmo de x na base b" ou "a base-b no logaritmo de x").[24]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Por exemplo, log2(16) = 4, visto que 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Os logaritmos podem também ser negativos:[25]

\log_2 \!\left( \frac{1}{2} \right) = -1,

porque:

2^{-1} = \frac 1 {2^1} = \frac 1 2.[26]

O terceiro exemplo é: log10(150) que é aproximadamente 2,176, tal aproximação é entendível porque 150 está entre 102 = 100 e 103 = 1000.[27] Finalmente, para qualquer base b, logb(b) = 1 e logb(1) = 0, pois b1 = b e b0 = 1, respectivamente.[28]

Identidades logarítmicas[editar | editar código-fonte]

Várias fórmulas são importantes para relacionar um logaritmo a outro, essas relações são chamadas de identidades logarítmicas ou leis de log.[29]

Produto, quociente, potência e raiz[editar | editar código-fonte]

O logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos números a serem multiplicados; o logaritmo da razão é a diferença dos logaritmos; o logaritmo da p-ésima potência de um número é p vezes o logaritmo do número em questão e por fim, a p-ésima raiz de um número é o logaritmo do número dividido por p.[30] A tabela a seguir lista essas identidades com exemplos, sendo que todas podem ser derivadas após a substituição da definição de logaritmo x = b^{\log_b(x)} e/ou y = b^{\log_b(y)} nos primeiros membros.[31]

Fórmula[32] Exemplo
produto  \log_b(x y) = \log_b (x) + \log_b (y)  \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) =  2 + 3 = 5
quociente \log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b (x) - \log_b (y)  \log_2 (16) = \log_2 \!\left ( \frac{64}{4} \right ) = \log_2 (64) - \log_2 (4) = 6 - 2 = 4
potência \log_b(x^p) = p \log_b (x)  \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6
raiz \log_b \sqrt[p]{x} = \frac {\log_b (x)} p  \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5

Mudança de base[editar | editar código-fonte]

O logaritmo logb(x) pode ser calculado a partir da divisão dos logaritmos de x e de b, ambos com uma base arbitrária k, utilizando a seguinte fórmula:[33] [34]

 \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}.

As típicas calculadoras científicas calculam os logaritmos de bases 10 e e.[35] Logaritmos com respeito a qualquer base b podem ser determinados usando qualquer um desses logaritmos, segundo a fórmula:[36]

 \log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)}.

Dado um número x e seu logaritmo logb(x), a base desconhecida b, é dada por:[37]

 b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.

Bases particulares[editar | editar código-fonte]

Entre todas as opções para a base, três são particularmente comuns. Essas são 10, 2 e a constante irracional e. Na análise matemática, o logaritmo de base e é generalizada por causa de suas particulares propriedades analíticas. Por outro lado, o uso da base 10 é mais fácil para cálculos manuais no sistema de números decimais.[38]

\log_{10}(10 x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x).

Assim, log10(x) está relacionado com os algarismos de dígitos decimais de um inteiro positivo x, isto é, o número de dígitos é o maior número inteiro estritamente maior que log10(x).[39] Por exemplo, log10(1430) é aproximadamente 3,15: o próximo inteiro é 4, que é a quantidade de dígitos de 1430. Tanto o logaritmo natural quanto o logaritmo binário são utilizados na teoria da informação, o qual corresponde respectivamente ao uso de nat ou bit como unidades fundamentais de informação.[40] Os logaritmos de base 2 também se encontram na ciência da computação, teoria musical e fotografia.[41]

Base b Nome do logb(x) Notação ISO[42] [43] Outras notações Usado em
2 logaritmo binário lb(x)[44] ld(x), log(x), lg(x), log2(x) ciência da computação, teoria da informação, teoria musical, fotografia
e logaritmo natural ln(x)[45] log(x)[46] [47] matemática, física, química, estatísticas, economia, teoria da informação e alguns campos da engenharia
10 logaritmo comum lg(x) log(x), log10(x) engenharia, ondulatória, pH, escalas, tábuas logarítmicas, calculadoras e espectroscopia

História[editar | editar código-fonte]

Antecessores[editar | editar código-fonte]

Os babilônios entre os anos de 2000–1600 a.C. podem ter inventado a multiplicação dos quadros triplos para multiplicar dois números utilizando somente a adição, a subtração e uma tabela de quadros triplos.[48] [49] Grandes tabelas de quadros triplos foram utilizadas para simplificar a precisão da multiplicação de grandes números até 1817, onde este método foi substituído pela utilização dos computadores.[50]

O matemático indiano Virasena trabalhou com o conceito de ardhaccheda: o número de vezes que um número pode ser dividido por 2 (logaritmos binários), além de uma ideia logarítmica de base 3 (trakacheda) e base 4 (caturthacheda).[51] Michael Stifel publicou Arithmetica integra em Nuremberg em 1544, contendo uma tabela de inteiros e potências de 2, sendo considerada uma versão inicial da tabela logarítmica.[52] No final do século XVI e início do século XVII, um algoritmo chamado prosthaphaeresis foi usado para aproximar um produto a partir de fórmulas da trigonometria.[53] [54] Neste recurso, Stifel usou:

\cos\,\alpha\,\cos\,\beta = \frac12[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]

De Napier a Euler[editar | editar código-fonte]

John Napier (1550–1617) é creditado pela invenção dos logaritmos.[34]

Joost Bürgi, um relojoeiro suíço a serviço do Duque de Hesse-Kassel, foi o primeiro a formar uma concepção sobre logaritmos. O método dos logaritmos naturais foi proposto pela primeira vez em 1614, em um livro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos)[55] [56] escrito por John Napier, Barão de Merchiston na Escócia, quatro anos após a publicação de sua memorável invenção.[57] Este método contribuiu para o avanço da ciência, e especialmente a astronomia, fazendo com que cálculos muito difíceis se tornassem possíveis. Anterior à invenção de calculadoras e computadores, era uma ferramenta constantemente usada em observações, navegação e outros ramos da matemática prática. Além de sua imensa utilidade na realização de cálculos práticos, os logaritmos também têm um papel muito importante na matemática teórica.[58]

De início, Napier chamou os logaritmos de "números artificiais" e os antilogaritmos de "números naturais". Mais tarde, Napier formou a palavra logaritmo, para designar um número que indica uma razão: λoγoς (logos) que significa razão, e αριθμoς (arithmos) que significa número. Napier escolheu dessa forma porque a diferença entre dois logaritmos determina a razão entre os números dos quais eles são tomados, de forma que uma série aritmética de logaritmos corresponde a uma série geométrica de números.[59] O termo antilogaritmo foi introduzido no final do século XVII e, apesar de nunca ter sido usado muito na matemática, persistiu em coleções de tabelas até não ser mais usado.[60]

Napier não usou uma base como a concebemos hoje, mas seus logaritmos eram na base 1/e. Para facilitar interpolações e cálculos, é útil fazer a razão r na série geométrica próximo de 1. Napier escolheu r=1-10^{-7}=0,999999, e Bürgi escolheu r=1+10^{-4}=1,0001. Os logaritmos originais de Napier não tinham log 1=0, ao invés disso tinham log 10^7 = 0.[61] Desse modo se N é um número e L é seu logaritmo tal qual calculado por Napier, N=10^7(1-10^{-7})^L. Uma vez que (1-10^{-7}) é aproximadamente 1/e, L é aproximadamente 10^7\log_{1/e} N/10^7.[34]

A hipérbole y = 1/x (curva vermelha) e sua área dada por x = 1 a 6 (hachurada de laranja).

A invenção dos logaritmos foi rapidamente e amplamente recebida com elogios. Bonaventura Cavalieri (Itália), Edmund Wingate (França), Xue Fengzuo (China) e Johannes Kepler (Alemanha)[62] ajudaram a espalhar e expandir ainda mais o conceito e a utilidade dos logaritmos. Em 1649, Alphonse Antonio de Sarasa, educado e orientado por Grégoire de Saint-Vincent, relacionou os logaritmos com a quadratura de sua hipérbole, apontando que a área f(t) do gráfico de x = 1 a x = t satisfaz[63] [64]

f(tu) = f(t) + f(u).\,

O logaritmo natural foi descrito primeiramente pelo alemão Nikolaus Mercator em sua obra Logarithmotechnia,[65] publicada em 1668, embora seu professor de matemática John Speidell, em 1619, já tenha elaborado uma tabela explicando o que eram os logaritmos naturais com base na tese e definição de Napier.[66] Por volta de 1730, Leonhard Euler definiu a função exponencial e logaritmo por

e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+x/n)^n,
\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1).

Dessa forma, Euler conseguiu provar que uma função é o inverso da outra.[67] [68] [69]

Tabelas de logaritmos[editar | editar código-fonte]

Definição de logaritmos segundo a Encyclopædia Britannica (1797).

Com a simplificação de cálculos difíceis, os logaritmos contribuíram para um avanço da ciência e, principalmente, da astronomia. Eles foram recebidos positivamente por progredirem a agrimensura, a navegação astronômica e outros domínios.[70] Pierre Simon Laplace comentou sobre os logaritmos:

"... um admirável artifício que reduziu para poucos dias um trabalho de laboratório que poderia durar meses, duplicando a vida dos astrônomos e poupando-os de erros e desgostos em longos cálculos."[71]

A ferramenta-chave que possibilitou o uso prático dos logaritmos antes das calculadores e computadores foi a tabela de logaritmos.[72] A primeira tabela deste tipo foi compilada por Henry Briggs em 1617, imediatamente após a invenção de Napier. Ulteriormente, as tabelas com maior alcance e precisão foram publicadas. Essas tabelas listavam valores de logb(x) e bx para qualquer número x em um algum intervalo a uma certa precisão para uma certa base b (usualmente, b = 10). Por exemplo, a primeira tabela de Briggs contém o logaritmo comum de todos os números inteiros de 1 a 1000, com precisão de oito dígitos. Como a função f(x) = bx é a função inversa de logb(x), ela é chamada de antilogaritmo.[73] O produto e quociente de dois números positivos c e d eram rotineiramente calculados pela soma e diferença de seus logaritmos. O produto cd ou o quociente c/d podem ter seus resultados seguindo a mesma lógica pelo antilogaritmo:

 c d = b^{\log_b (c)} \, b^{\log_b (d)} = b^{\log_b (c) + \log_b (d)} \,

e

\frac c d = c d^{-1} = b^{\log_b (c) - \log_b (d)}. \,

Para cálculos manuais que demandam precisões apreciáveis, realizam-se as pesquisas dos dois logaritmos (na tabela logarítmica) a partir da soma e diferença.[74] Nesse contexto, os antilogaritmos eram mais rápidos para executar do que a multiplicação por métodos anteriores que a invenção da tabela, tal como o prosthaphaeresis, que depende das identidades trigonométricas. Cálculos de potências e raízes são reduzidas para a multiplicação ou a divisão da seguinte maneira:[75]

c^d = (b^{\log_b (c)  })^d =  b^{d \log_b (c)} \,

e

\sqrt[d]{c} = c^{\frac 1 d} = b^{\frac{1}{d} \log_b (c)}. \,

Muitas tabelas de logaritmos fornecem os logaritmos separadamente pelas características e a mantissa de um número real x, ou seja a parte inteira e a parte fracionária de log10(x).[76] Uma característica de 10 · x é que este representa um adicional a x e seus significandos são os mesmos. Isso se estende ao âmbito das tabelas de logaritmos, o logaritmo de 3542 é aproximadamente:[77]

\log_{10}(3542) = \log_{10}(10\cdot 354.2) = 1 + \log_{10}(354.2) \approx 1 + \log_{10}(354). \,

Régua de cálculo[editar | editar código-fonte]

Outra aplicação crítica foi a régua de cálculo, um par de escalas logarítmicas utilizadas para cálculos, da seguinte maneira:[78]

Representação esquemática de uma régua de cálculo. Neste exemplo, colocando 2 na escala inferior e 3 na escala superior, atinge-se 6 pelo produto. Esta funciona porque a distância de 1 a x é marcada proporcionalmente ao logaritmo de x.

O padre inglês William Oughtred aprimorou, a partir da escala de Edmund Gunter, a criação da régua de cálculo — um par de escalas logarítmicas móveis; nesta, os números são colocados em distâncias proporcionais às diferenças de seus logaritmos. Nela, desliza-se a escala superior a um valor mecânico em relação a escala inferior e o valor indicado nesta representa a soma de seus logaritmos, confirmando a identidade logarítmica envolvendo soma e produto.[79] Por exemplo, colocando a distância de 1 a 2 na escala inferior e a distância de 1 a 3 na escala, percebe-se na escala inferior o produto 6.[80] A régua de cálculo foi uma ferramenta essencial para engenheiros e cientistas até a década de 1970, porque ela permite, em detrimento da precisão, muito mais rapidez no cálculo que as técnicas baseadas nas tabelas logarítmicas.[67]

Propriedades analíticas[editar | editar código-fonte]

Um estudo profundo dos logaritmos requer o conceito de função: uma relação entre dois conjuntos, a qual há uma condição entre cada um de seus elementos. Um exemplo é a função exponencial, a qual a enésima potência de b resulta em um número real y.[81]

f(n) = b^n.

Função logarítmica[editar | editar código-fonte]

Para justificar a definição de logaritmo, é necessário mostrar que a equação b^x = y tem a solução x e que esta é única, desde que y é positivo e b é positivo e diferente de 1. A prova deste fato é comprovada pelo teorema do valor intermediário para cálculo elementar.[82] Este teorema afirma que uma função contínua que produz dois valores m e n também produz qualquer valor que se situa entre m e n.[83]

Esta propriedade pode ser mostrada para sustentar a função f(x) = bx, porque f contém valores positivos arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos e qualquer número y > 0 situa-se entre f(x0) e f(x1) para apropriado x0 e x1.[84] Por isso, o teorema do valor intermediário garante que a equação f(x) = y tem uma solução. Além disso, há apenas uma solução para essa equação, porque a função f é estritamente crescente (para b > 1), ou estritamente decrescente (para 0 < b < 1).[85]

A única solução x é o logaritmo de y na base b, logb(y). A função que atribui a y o seu logaritmo é chamada de função logaritma, função logarítmica ou simplesmente, logaritmo. A função logb(x) é essencialmente caracterizada pela fórmula do produto:[86]

\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y).

Mais precisamente, o logaritmo com qualquer base b > 1 é única função crescente f dos reais para os reais, satisfazendo f(b) = 1 e f(xy)=f(x)+f(y).[87]

Dado um número real b (com 0 < b ≠ 1), chama-se função logarítmica a função f de ℝ+* em ℝ dada pela lei f(x) = logb(x).[88]

Função inversa[editar | editar código-fonte]

O gráfico de uma função logarítmica logb(x) (azul) é obtido pela reflexão do gráfico de uma função exponencial bx (vermelho) com uma reta linear (x = y).

A fórmula para o logaritmo da potência de qualquer número elevado a x é expressa por \log_b \left (b^x \right) = x \log_b(b) = x. Em linhas gerais, tendo a enésima potência de b, o logaritmo de base b resulta em n. Dado um número positivo y e a fórmula b^{\log_b(y)} = y, pode-se dizer que a exponenciação de b elevado a um logaritmo de base b resulta em y.[89] Portanto, a função f(x) = logbx é a função inversa de f(x) = bx.[90]

As funções inversas estão diretamente relacionadas às funções originais. Seus gráficos são correspondentes, ou seja, apenas há a troca do eixo das abcissas e do eixo das ordenadas, como mostrado nos gráficos ao lado: um ponto (t, u = bt) em um gráfico representa o ponto (u, t = logbu) no outro gráfico, pelo processo da reflexão, e vice-versa.[91] Consequentemente, logb(x) diverge para o infinito se x cresce para o infinito, previsto que b é maior que um (nesse caso, logb(x) é uma função crescente). Para b < 1, logb(x) tende a ir para o menos infinito.[92]

Derivada e integral[editar | editar código-fonte]

O gráfico de um logaritmo natural (verde) e sua tangente em x = 1.5 (preto).

As propriedades analíticas das funções passam para suas funções inversas. Então, como f(x) = bx é uma função diferenciável e contínua, logb(y) também é. A grosso modo, a função contínua é diferenciável se seu gráfico não tiver "ângulos agudos". Além disso, como a derivada de f(x) calcula a ln(b)bx pelas propriedades da função exponencial, a regra da cadeia implica que a derivada de logb(x) é dada por[85] [93]

\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}.

Isto é, o declive de uma tangente que toca o gráfico do logaritmo de base-b no ponto (x, logb(x)) é igual no ponto 1/(x ln(b)).[94] Em casos particulares, a derivada de ln(x) é 1/x, o que implica que a integral de 1/x é ln(x) + C. A derivada, com uma definição generalizada, de f(x) é[95]

\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.

O quociente do gráfico à direita é chamado de derivada logarítmica de f. O cálculo de f'(x) por meio da derivada de ln(f(x)) é conhecido como diferenciação logarítmica.[96] Fórmulas relacionadas, tais como integrais de logaritmos para outras bases, podem ser derivadas a partir da equação abaixo usando a mudança de base. Portanto, a integral de um logaritmo natural ln(x) é:[97]

\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.[98]

Representação integral do logaritmo natural[editar | editar código-fonte]

O logaritmo natural de t é a área hachurada do gráfico da função f(x) = 1/x.

O logaritmo natural de t concorda com a integral de 1/x dx de 1 para t:[99]

\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.

Em outras palavras, ln(t) é igual a área do eixo das abcissas e o gráfico da função 1/x, variando de x = 1 a x = t, tal como na figura ao lado. Esta é uma consequência do teorema fundamental do cálculo e do fato de que a derivada de ln(x) é 1/x. As fórmulas do produto e potência de um logaritmo podem ser derivadas a partir dessa definição (utilizando como exemplo, ln(tu) = ln(t) + ln(u)):[100]

 \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).

A igualdade (1) divide a integral em duas partes, enquanto a igualdade (2) mostra a mudança de variável (w = x/t). Na ilustração abaixo, o desdobramento corresponde a divisão da área em partes amarela e azul. Redimensionando a área azul do gráfico à esquerda no eixo das ordenadas e diminuindo-o no eixo das abcissas, conclui-se que seu tamanho é constante; dessa forma, movendo-o apropriadamente para o gráfico à direita, percebe-se a mesma área em proporções diferentes.[101]

Comprovação visual e geométrica da fórmula-produto do logaritmo natural.

A fórmula da potência ln(tr) = r ln(t) pode ser derivada de maneira semelhante, na qual a segunda igualdade usa uma mudança de variáveis (integração por substituição), w = x1/r:[102]


\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t).

A soma dos recíprocos dos números naturais, 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}, é chamada de série harmônica.[103] Ela está intimamente relacionada ao logaritmo natural, porque n tende ao infinito; a diferença \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) converge para um número conhecido como constante de Euler-Mascheroni. Esta relação auxilia na análise do desempenho de algoritmos conhecidos como quicksort.[104]

Existe também outra representação integral de logaritmos que é usada em algumas situações:[105]

 \ln(x) = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left( e^{-xt} - e^{-t} \right)

Transcendência do logaritmo[editar | editar código-fonte]

Todos os números reais que não são números algébricos são chamados de números transcedentes;[106] por exemplo, o π e o número de Euler , porém \sqrt{2-\sqrt 3} não é. Quase todos os números reais são números transcendentais. O logaritmo é um exemplo de uma função transcendental. O Teorema de Gelfond-Schneider afirma que os logaritmos geralmente levam números transcendentais, isto é, valores "difíceis".[107]

Cálculo[editar | editar código-fonte]

Logaritmos são uma alternativa fácil de resolver cálculos em alguns casos, por exemplo log10(1000) = 3. Geralmente, os logaritmos podem ser calculados usando a série de potências ou a média aritmética-geométrica, além de um pré-cálculo na tabela de logaritmos, a qual oferece uma precisão no resultado.[108] [109] O método de Newton, desenvolvido para resolver equações de maneira aproximada, podem ser uma maneira de resolver, porque sua função inversa,[110] a função exponencial é calculada de maneira eficiente por esse método. A tabela de consulta e o algoritmo de Volder são outros processos para resolução de logaritmos e também são os únicos métodos possíveis para determinar o deslocamento aritmético.[111] Além disso, o algoritmo de um logaritmo binário calcula o lb(x) pela recursividade a partir da seguinte equação:[111]

\log_2(x^2) = 2 \log_2 (x). \,

Série de potências[editar | editar código-fonte]

Série de Taylor[editar | editar código-fonte]

A série de Taylor de ln(z) centralizado em z = 1. A animação mostra as primeiras 10 aproximações incluindo a nonagésima nona e a centésima estimativa. As aproximações não convergem além da distância de 1 até o centro.

Para qualquer número real z que satisfaça 0 < z < 2, a seguinte fórmula sustenta que:[112]


\ln (z)  = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots

Esta é uma forma para dizer que ln(z) pode ser aproximada a um valor de modo preciso a partir da seguinte expressão:[113]


\begin{array}{lllll}
(z-1) & & \\
(z-1) & - &  \frac{(z-1)^2}{2} & \\
(z-1) & - &  \frac{(z-1)^2}{2} & + & \frac{(z-1)^3}{3} \\
\vdots &
\end{array}

Por exemplo, com z = 1.5, a terceira aproximação equivale a 0.4167, que é cerca de 0.011 maior que a ln(1.5) = 0.405465.[114] Essa série proporciona uma aproximação de ln(z) com uma precisão arbitrária a partir do aumento de parcelas a serem efetuadas. Em cálculo elementar, ln(z) é, consequentemente, o limite desta série. Isto representa a série de Taylor de um logaritmo natural em z = 1; a série de Taylor de ln z fornece uma aproximação útil para ln(1+z), quando z é desprezível e |z| < 1, desde então[115]


\ln (1+z) = z - \frac{z^2}{2}  +\frac{z^3}{3}\cdots \approx z.

Séries mais eficientes[editar | editar código-fonte]

Outra série para aproximação e resolução de cálculos logarítmicos é baseada na área da função hiperbólica inversa:[112]


\ln (z) = 2\cdot\operatorname{artanh}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left ( \frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right ),

Esta fórmula vale para qualquer valor real z > 0. Utilizando a notação Sigma, esta também pode ser escrita de outro modo:[116]

\ln (z) = 2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}.

Tal série pode ser derivada de acordo com a série de Taylor. Ela converge mais rapidamente que a série de Taylor, especialmente se z está próximo de 1.[117] Por exemplo, para z = 1.5, os três primeiros termos de uma aproximação da segunda série da ln(1.5) um erro mínimo entre ×10. A rápida convergência de z próximo a 1 pode ser aproveitada da seguinte maneira: dado uma baixa precisão de aproximadamente y ≈ ln(z) e colocando A = \frac z{\exp(y)}, \,, o logaritmo de z é:[118] \ln (z)=y+\ln (A). \,

Quanto melhor a aproximação inicial y, mais próximo A será de 1, de modo que seu logaritmo pode ser calculado de maneira mais eficiente. A pode ser calculado utilizando a série exponencial, que converge rapidamente y, o qual não tem módulo considerável.[119] Calculando o logaritmo de um valor considerável z, pode-se reduzir seu valor, escrevendo z = a · 10b a fim de que ln(z) = ln(a) + b · ln(10).[120]

Um método intimamente relacionado pode ser usado para calcular o logaritmo de números inteiros. A partir da série acima, conclui-se que:[121]

\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.

Se o logaritmo de um inteiro n com módulo extenso é conhecido, então esta série produz uma série de rápida convergência para log(n+1).[122]

Média aritmética-geométrica[editar | editar código-fonte]

A média aritmética-geométrica produz aproximações de alta precisão do logaritmo natural. ln(x) é aproximada a uma precisão de 2p pela seguinte fórmula feita por Carl Friedrich Gauss:[123] [124]

\ln (x) \approx \frac{\pi}{2 M(1,2^{2-m}/x)} - m \ln (2).

Nessa equação, M representa a média aritmética-geométrica. Ela é obtida através do cálculo da média aritmética e a raiz quadrada do produto de dois números (média geométrica). Além disso, m é escolhido de tal modo que[125]

x \,2^m > 2^{p/2}.\,

Tanto a média aritmética-geométrica quanto as constantes π e ln(2) podem ser calculadas rapidamente com a série de convergência.[126]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

A photograph of a nautilus' shell.
Um nautilus apresenta uma espiral logaritmica.

Os logaritmos têm muitas aplicações dentro e fora do setor da matemática. Algumas destas utilizações são relacionadas à noção de invariância de escala. Por exemplo, cada câmara da casca de um Nautilidae é uma cópia aproximada do próximo, escalada por um fator constante, dando origem à formação de uma espiral logarítmica.[127]

A lei de Benford que mostra a distribuição dos primeiros dígitos também pode ser explicada pela invariância de escala.[128] Os logaritmos também estão vinculados à autossimilaridade. Por exemplo, aparecem na análise dos algoritmos que resolvem um problema por meio de sua divisão em dois pequenos problemas similares e, em seguida, a união de suas soluções.[129] As dimensões de formas geométricas autossimilares, isto é, figuras cujas partes se assemelham ao todo também são baseadas em logaritmos. As escalas logarítmicas são convenientes para quantificar a variação relativa de um valor em oposição à sua diferença absoluta. Além disso, como a função logarítmica log(x) cresce bem lentamente para grandes valores de x, as escalas logarítmicas são usadas para compactar dados científicos em larga escala. Também são encontrados em muitas fórmulas científicas, tais como a equação de foguete de Tsiolkovsky, a equação de Fenske ou a equação de Nernst.[130]

Escalas logarítmicas[editar | editar código-fonte]

Este gráfico logarítmico descreve o valor do marco de ouro alemão em Papiermark durante a hiperinflação na República de Weimar.

Quantidades científicas são muitas vezes expressas como logaritmos de outras quantidades, usando a escala logarítmica. Por exemplo, o decibel é uma unidade de medida associada a um nível de escala logarítmica. Baseia-se em uma razão de um logaritmo comum — 10 vezes o logaritmo comum de uma razão potencial ou 20 vezes o logaritmo comum de uma razão de tensão — esta é utilizada para quantificar a perda de níveis de tensão em uma transmissão de sinais elétricos,[131] para descrever níveis de potência de sons em acústica [132] e na absorbância de luz no campo da espectrometria e óptica. A relação sinal-ruído que descreve a quantidade de indesejado ruído em razão de um sinal também é medida em decibeis.[133] Em forma similar, a relação sinal-ruído de pico é vulgarmente usada para avaliar a qualidade de som e a compressão de imagens a partir dos logaritmos.[134]

A força de um terremoto é medida por um cálculo envolvendo o logaritmo comum da energia emitida pelo terremoto; esse processo é feito pela escala Richter e pela escala de magnitude de momento. Por exemplo, um terremoto de 5,0 na escala Richter gera 10 vezes se comparado com a energia produzida em um terremoto na escala 4,0 e quando na escala de 6,0 produz tal energia 100 vezes maior do que na escala 4,0.[135] A magnitude aparente mede a luminosidade de um corpo celeste a partir da razão entre a intensidade e a aparência da radiação.[136] Outro exemplo, de grande importância no ramo da química inorgânica é o potencial hidrogeniônico: o pH é definido como o logaritmo comum negativo da concentração de íons H3O+ dissociados em solução aquosa; conclui-se que cada decréscimo de uma unidade de pH multiplica por dez vezes a concentração de íons hidrônio e, portanto, a acidez do meio.[127]

Os gráficos semi-log, também chamados de papeis gráficos especiais, utilizam o conceito de escala logarítmica para visualização: um eixo, geralmente o eixo das ordenadas, está em escala logarítmica. Por exemplo, o gráfico à direita comprime, de maneira proporcional o aumento acentuado de 1 milhão a 1 trilhão para o mesmo espaço (no eixo vertical) assim como o aumento de 1 a 1 milhão. Nesses gráficos, a função exponencial da forma f(x) = a · bx aparece com uma reta contínua de declive igual ao logaritmo de b. Os gráficos log-log, também chamados de papel gráfico di-log pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica,[137] são aqueles que ambos os eixos estão representados pela escala logarítmica, fazendo com que a forma f(x) = a · xk seja descrita como uma linha contínua de declive igual ao expoente k. Isto se aplica às leis de potência.[128]

Psicologia[editar | editar código-fonte]

Os logaritmos estão incluídos em diversas leis que buscam estabelecer uma ideia abstrata da percepção humana.[138] [139] A lei de Hick propõe uma relação logarítmica entre o tempo de os indivíduos escolherem uma alternativa e o número de opções que este contém para decidir.[140] A lei de Fitts, por outro lado, prevê que o tempo necessário para mover-se rapidamente de uma posição inicial até uma zona de destino final descreve uma função logarítmica da distância e a área de um referencial inercial.[141] Na psicofísica, a lei de Weber-Fechner prediz uma relação logarítmica entre estímulo e sensação a partir do peso de algo que a pessoa sentindo fisicamente[142] (atualmente, esta lei é obsoleta, já que estudos mais avançados foram concluídos envolvendo esses fatores, tal como a lei potencial de Stevens).[143]

Estudos psicológicos encontraram que indivíduos com baixa aprendizagem em matemática tendem a estimar valores e resultados de maneira logarítmica, isto é, eles posicionam um número em uma linha imaginária de acordo com o seu logaritmo. Com o aumento do ensino, essa estimativa se torna mais linear em algumas circunstâncias.[144] [145]

Teoria da probabilidade e estatística[editar | editar código-fonte]

A função densidade de probabilidade da distribuição log-normal para µ=0 e diferentes valores de σ.

Os logaritmos surgem na teoria das probabilidades: a lei dos grandes números determina que, para uma moeda honesta, como o número de lançamento de moedas cresce para o mais infinito, a proporção observada de caras se aproxima da metade. As oscilações dessa proporção são descritas pela lei do logaritmo iterado.[146]

Os logaritmos também ocorrem na distribuição log-normal: quando o logaritmo de uma variável aleatória tem uma distribuição normal, diz-se que a variável tem uma distribuição log-normal.[147] As distribuições log-normal são encontradas em muitos campos, onde deseja que uma variável seja formada pelo produto de muitas variáveis aleatórias positivas e independentes, por exemplo, no estudo da turbulência.[148] Os logaritmos são usados para a máxima verossimilhança, um método para estimar os parâmetros de modelos estatísticos: para determinado modelo, a função de verossimilhança depende de pelo menos um parâmetro o qual deve ser estimado. O valor máximo de uma função de verossimilhança ocorre quando o valor-parâmetro é máximo do logaritmo das probabilidades (o log verossimilhança), porque o logaritmo é uma função crescente. O log-verossimilhança é mais fácil para maximizar, especialmente para a multiplicação de probabilidades de variáveis aleatórias independentes.[149]

A lei de Benford descreve a ocorrência de dígitos em muitos conjuntos de dados, tal como a visão geométrica da altura dos edifícios. Essa lei mostra a probabilidade que o primeiro dígito decimal d (de 1 a 9) seja equivalente a log10(d + 1) − log10(d), independentemente da unidade de medida.[150] Então, cerca de 30% dos dados podem ter 1 como o primeiro dígito, 18% de ser 2, e assim por diante.[151]

Complexidade computacional[editar | editar código-fonte]

A análise de algoritmos é um ramo da ciência da computação que estuda o desempenho dos algoritmos. Os logaritmos são valiosos para descrever algoritmos que dividem um problema em partes menores e juntam as soluções em um subproblema.[152] Por exemplo, para encontrar um número em uma lista ordenada, a pesquisa binária verifica a entrada média e prossegue com a metade antes ou depois da entrada média se um número ainda não foi encontrado nesta lista. Este algoritmo exige, em média, a comparação log2(N), onde N é o tamanho da lista. Similarmente, o merge sort classifica uma lista dividindo-a em duas partes e classifica-a antes de ordenar os resultados. Tal algaritmo normalmente requer um tempo aproximadamente proporcional a N · log(N). [153] A base desse logaritmo não é especificada, porque o resultado somente é alterado por um fator constante sob condição de variação da utilização de uma outra base. Um fator constante é usualmente desconsiderado na análise de algoritmos sob o padrão modelo de custo uniforme.[154]

Uma função f(x) é dita que cresce de modo logarítmico se f(x) é (exatamente ou aproximadamente) proporcional ao logaritmo de x. Por exemplo, qualquer número natural N pode ser representado no sistema de numeração binário como log2(N) + 1 bits. Em outras palavras, a quantidade de memória para armazenar N cresce de modo logarítmico com N.[155]

Entropia e caos[editar | editar código-fonte]

A entropia é uma medida da desordem de algum sistema. Na mecânica estatística, a entropia S da soma de um sistema físico é definida como:[156]

 S = - k \sum_i p_i \ln(p_i).\,

A soma é sobre todos os possíveis estados de um sistema em questão, tal como as posições das partículas de gás em um recipiente. Além disso, pi é a probabilidade que o estado i é atingido e k é a constante de Boltzmann. Similarmente, a entropia da informação mede a quantidade de informação: se o destinatário da mensagem pode esperar qualquer uma das possíveis mensagens com possibilidades iguais, então a quantidade de informação transportada por qualquer mensagem é quantificada como log2(N) bits.[157]

O expoente de Lyapunov usa o logaritmo para calcular o grau de caoticidade de um sistema dinâmico. Por exemplo, para partículas movendo-se em uma mesa de bilhar oval, até mesmo pequenas mudanças nas condições iniciais resultam em caminhos muito diferentes da partícula. Tais sistemas são caóticos de maneira determinada, porque erros pequenos em cálculos de um estado inicial conduzem para estados finais diferentes.[158]

Fractais[editar | editar código-fonte]

Parts of a triangle are removed in an iterated way.
O triângulo de Sierpinski (na direita) é construído pelo rearranjo contínuo dos triângulos equiláteros por três pequenos triângulos.

Os logaritmos são aplicados nos significados das dimensões dos fractais.[159] Eles são objetos geométricos que são autossimilares: pequenas partes repetem-se, o mínimo aproximado, de toda a estrutura global. O triângulo de Sierpinski (imagem) podem ser incluídos em três cópias dele mesmo, cada pedaço tendo metade da extensão original. Isto faz pela dimensão de Hausdorff desta estrutura log(3)/log(2) ≈ 1.58. Outra noção de dimensão baseada nos logaritmos é obtida pela necessidade da dimensão de Minkowski–Bouligand na repetição de fractais em questão.[160]

Música[editar | editar código-fonte]

Four different octaves shown on a linear scale.
Four different octaves shown on a logarithmic scale.
Quatro oitavas diferentes apresentam uma escala linear, em seguida apresentam uma escala logarítmica (como são ouvidas).

Os logaritmos estão relacionadas aos tons musicais e aos intervalos. Em temperamento igual, a frequência radiana depende exclusivamente do intervalo entre dois tons, não em frequência específica, ou em altura, dos tons individuais. Por exemplo, a nota musical tem uma frequência de 440 Hz e o Si bemol tem uma frequência de 466 Hz. O intervalo entre o e o Si bemol é um semitom, assim como a combinação entre o Si bemol e o Si (frequência de 493 Hz). [161]

Correspondentemente, a frequência radiana coincide-se:[162]

\frac{466}{440} \approx \frac{493}{466} \approx 1.059 \approx \sqrt[12]2.

Portanto, os logaritmos pode ser utilizados para descrever os intervalos: um intervalo é medido em semitons tendo a frequência radiana logarítmica de base-21/12, onde a frequência radiana logarítmica de base-21/1200 expressa o intervalo em cent, centésimo de um semitom. O segundo é utilizado para codificação fina, assim é necessário em temperamentos desiguais.[163]

Intervalos (músicas)
(os dois tons são ouvidas em um tempo invariável)
Tom 72 Loudspeaker.svg? som Semitom Loudspeaker.svg? som Terça maior exata Loudspeaker.svg? som Terça maior Loudspeaker.svg? som Trítono Loudspeaker.svg? som Oitava Loudspeaker.svg? som
Frequência radiana r 2^{\frac 1 {72}} \approx 1.0097 2^{\frac 1 {12}} \approx 1.0595 \tfrac 5 4 = 1.25 \begin{align} 2^{\frac 4 {12}} & = \sqrt[3] 2 \\ & \approx 1.2599 \end{align} \begin{align} 2^{\frac 6 {12}} & = \sqrt 2 \\ & \approx 1.4142 \end{align}  2^{\frac {12} {12}} = 2
Correspondência dos números de semitons
\log_{\sqrt[12] 2}(r) = 12 \log_2 (r)
\tfrac 1 6 \, 1 \, \approx 3.8631 \, 4 \, 6 \, 12 \,
Correspondências dos números de cents
\log_{\sqrt[1200] 2}(r) = 1200 \log_2 (r)
16 \tfrac 2 3 \, 100 \, \approx 386.31 \, 400 \, 600 \, 1200 \,

Teoria dos números[editar | editar código-fonte]

Os logaritmos naturais estão restritamente interligados com a função de contagem de números primos (2, 3, 5, 7, 11, ...), um tópico importante dos números primos. Para qualquer integral de x, a quantidade de números primos é menor ou igual é denotada pela constante π(x). O teorema dos números primos afirma que o π(x) é dado aproximadamente por:

\frac{x}{\ln(x)},

percebendo que a razão entre π(x) e a fração aproxima-se de 1 quando x tende ao infinito.[164] Como consequência, a probabilidade que um número aleatoriamente fechado entre 1 e o x primo é inversamente proporcional para os números decimais de x. Uma melhor estimativa é dada pelo π(x), valor calculado pela distância entre os valores do logaritmo integral e a função Li(x), definido por:

 \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt.

A hipótese de Riemann, uma das mais antigas conjecturas matemáticas abertas, podem ser estabelecidas em termos comparativos de π(x) e Li(x).[165] O teorema de Erdős–Kac descreve a distinção dos números primos como também envolvem os logaritmos naturais.

O logaritmo fatorial de n, n! = 1 · 2 · ... · n, é dado por:

 \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n). \,

Este número pode ser utilizado para obter a fórmula de Stirling, uma aproximação do número n! para uma extensa quantidade de números n.[166]

Generalizações[editar | editar código-fonte]

Logaritmos complexos[editar | editar código-fonte]

An illustration of the polar form: a point is described by an arrow or equivalently by its length and angle to the x axis.
Uma forma polar de z = x + iy. Ambos dos ângulos de φ e φ' são argumentos de z.

Os números complexos a que resolvem a equação

e^a=z.\,

são chamados de logaritmos complexos. Aqui, z é um número complexo. Um número complexo é geralmente representado como z = x + iy, onde x e y são números reais e o i é uma unidade imaginária. Um número semelhante pode ser visualizado por um ponto em um plano complexo, como apresentado à direita.[167] A forma polar codifica um número complexo não-nulo z por seu valor absoluto, que é a distância r da origem e um ângulo entre o eixo x e a linha que passa entre a origem e z. Este ângulo é chamado de argumento de z. O valor absoluto r de z é[168]

r=\sqrt{x^2+y^2}. \,

O argumento não é exclusivamente especificado por z: ambos os ângulos φ e φ' = φ + 2π são argumentos de z porque adiciona 2π radianos ou 360 graus para correspondente ângulo φ para o "enrolamento" sobre a origem anti-horária por uma volta. Dessa forma, o número complexo resultante é novamente z, como ilustrado na figura à direita. Entretanto, exatamente um argumento φ satisfaz a condição de: −π < φ e φ ≤ π. Ele é chamado de argumento principal, denotado Arg(z) e tem um valor máximo a.[169] (Uma alternativa normalizada é 0 ≤ Arg(z) < 2π.[170] )

A density plot. In the middle there is a black point, at the negative axis the hue jumps sharply and evolves smoothly otherwise.
O principal ramo do logaritmo complexo, Log(z). O ponto preto de z = 1 corresponde ao valor absoluto de zero e as colores brilhantes (mais saturadas) referem aos grandes valores absolutos. A matiz da cor codifica o argumento de log(z).

Utilizando as funções trigonométricas seno e cosseno, os complexos exponenciais, respectivamente, r e φ são semelhantes às identidades consideradas abaixo:[171]

\begin{array}{lll}z& = & r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\
& = & r e^{i \varphi}.
\end{array} \,

Isto implica que a a-ésima potência de e é igual a z, onde

a = \ln (r) + i ( \varphi + 2 n \pi ), \,

φ é o argumento principal Arg(z) e n é um inteiro arbitrário. Qualquer a é chamado de um logaritmo complexo de z. Há, infinitamente, muitos logaritmos complexos em contraste com os logaritmos reais. Se n = 0, a é chamado de valor principal do logaritmo, denotado log(z). O argumento principal de qualquer número real positivo x é 0; logo log(x) é um número real e equivale ao logaritmo real natural. As fórmulas acima dos logaritmos de produtos e potências não são generalizadas como o valor principal de um logaritmo complexo.[172]

A ilustração da direita descreve o log(z). A descontinuidade, que é, o sobressalto na matiz na parte negativa do eixo x é obtida pelo sobressalto do argumento principal presente. Este lugar geométrico é chamado de ponto de ramificação. Este comportamento pode ser contornado pela vertente da restrição da extensão do ângulo de φ. Então o argumento de z e, consequentemente, seu logaritmo se tornam função multivalorada.[173]

Inverso de outras funções exponenciais[editar | editar código-fonte]

A exponenciação ocorre em muitas áreas da matemática e sua inversa é muitas vezes referida como o logaritmo. Por exemplo, o logaritmo de uma matriz é a função inversa da exponencial matricial.[174] Outro exemplo é a função logarítmica p-adic, cujo inverso é a função exponencial p-adic. Ambas são definidas através da série de Taylor em um caso real.[175] No contexto da geometria diferencial, o mapa exponencial traça o espaço tangente em um ponto variável a vizinhança.[176]

No contexto de grupos finitos, a exponenciação é dada pela multiplicação repetida de um grupo de elementos b com eles mesmos. O logaritmo discreto é o inteiro n, o qual resolve a equação bn = x, onde x é um elemento do grupo. A exponenciação pode ser realizada de forma eficiente, mas em alguns casos o logaritmo discreto é muito difícil de ser calculado. Esta assimetria tem aplicação importante na criptografia de chave pública,[177] como por exemplo a troca de chaves de Diffie-Hellman, um método que permite a troca de chaves criptográficas dentro de um canal de comunicação público. O logaritmo de Zech está relacionado com o logaritmo discreto na multiplicação de grupos diferentes de zero em um grupo finito de elementos.[178]

Outras funções inversas de logaritmos incluem o logaritmo duplo ln(ln(x)), o super ou hiper-4-logaritmo, a função W de Lambert e o logit. Eles são funções inversas da função exponencial dupla, da tetração, de f(w) = wew[179] e da função logística, respectivamente.[180]

Conceitos relacionados[editar | editar código-fonte]

Para a perspectiva da matemática pura, a identifidade log(cd) = log(c) + log(d) expressa um grupo isomórfico entre os números reais positivos entre a multiplicação e a sua adição. As funções logarítmicas são somente isomórficas contínuas entre este grupos.[181] Pela forma isofórmica, a medida de Haar (Medida de Lebesgue) dx corresponde aos números reais positivos da medida de Haar dx/x .[182] Na análise complexa e na geometria algébrica, as formas diferenciais da forma df/f são conhecidas como formas com polos logarítmicos.[183]

O polilogaritmo da função é definida por:


\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.

Ele está relacionados aos logaritmos naturais pela Li1(z) = −ln(1 − z). Além disso, Lis(1) iguala a função zeta de Riemann ζ(s).[184]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Banco de imagens — Volume 1 Portal Matemática. Editora Saraiva. Visitado em 1 de dezembro de 2014.
  2. 1º Exame de Classificação Revista Eletrônica. Universidade Estadual do Rio de Janeiro. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  3. Barroso, Juliane Matsubara. Conexões com a Matemática. [S.l.]: Editora Moderna. 798 pp. ISBN 9788516082291. Visitado em 2 de dezembro de 2014.
  4. González, Mario O.. Álgebra Elemental Moderna. Buenos Aires: [s.n.], 1980. 243 pp.
  5. Wentworth, George Albert. Five-place Logarithmic and Trigonometric Tables. [S.l.]: Ginn & Company, 1875. 75 pp. p. 20-25.
  6. Degenszajn, David; Dolce, Osvaldo. Matemática: ciência e aplicações (em português). 5ª. ed. São Paulo: Atual Editora, 2010. 384 pp. p. 192. ISBN 9788535713589. Visitado em 1 de dezembro de 2014.
  7. Clark, Kathleen. Logarithms. The early history of a familiar function MAA. Visitado em 2 de dezembro de 2014.
  8. Função matemática: enciclopédia da matemática. 3ª. ed. Мoscou: Grande Enciclopédia da Rússia, 1982.
  9. Pré Cálculo Andrade, Rubens Leão Universidade Federal de Tocantins. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  10. Logaritmo e Exponencial Universidade Federal de Minas Gerais. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  11. Smith, Steven. Digital Signal Processing: A Practical Guide for Engineers and Scientists. [S.l.]: Newnes, 2013. 672 pp. ISBN 9780080477329.
  12. Acadêmicos “ocupam” UEAP na semana universitária Universidade Estadual do Amapá. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  13. Brown, Clifford. Fractal Analysis. [S.l.]: Sage, 2010. 112 pp. p. 19. ISBN 9781483343129.
  14. Royal Military Academy. Arithmetic, algebra, differential and integral calculus. [S.l.]: Harvard University Press, 2007. p. 183.
  15. Paul Garrett, Daniel Lieman. Public-key Cryptography. [S.l.]: American Mathematical Society Short Course, 2005. 183 pp. p. 91. ISBN 9780821867679.
  16. Miller, Jeff. Earliest known uses of some of the words of Mathematics (L). Visitado em 29 de agosto de 2009.
  17. Soares, Evanildo Costa. Uma investigação história sobre os logaritmos com sugestão didática Centro de ciências exatas da Terra. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  18. Aplicações da Informática no Ensino da Matemática Universidade Federal da Grande Dourados. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  19. dos Santos, João Carlos. Matematica Financeira I: com a Calculadora Hp 12c. São Paulo: Villipress. 121 pp. p. 62. ISBN 9788574730448. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  20. Caramelo, José Amado. Biomatemática: Uma introdução para o curso da matemáteica. 2ª. ed. Coimbra: Imprensa da Universidade de Coimbra. 430 pp. p. 30. ISBN 9789728704230. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  21. Shirali, Shailesh (2002), A Primer on Logarithms, Hyderabad: Universities Press, ISBN 978-81-7371-414-6, http://books.google.com/books?id=0b0igbb3WaQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false , esp. seção 2
  22. Respostas Esperadas Oficias Universidade Federal de Goiás (11 de setembro de 2009). Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  23. Kate, S.K.; Bhapkar, H.R. (2009), Basics Of Mathematics, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-755-8, http://books.google.com/books?id=v4R0GSJtEQ4C&pg=PR1#v=onepage&q&f=false , capítulo 1
  24. Bibliotecas: tópicos de destaque Faculdade de Tecnologia e Ciências Exatas. Universidade São Judas Tadeu. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  25. Sanches, Paulo Sérgio Bedaque. Matematikōs. São Paulo: Editora Saraiva. 480 pp. ISBN 9788502101951. Visitado em 2 de dezembro de 2014.
  26. Programa de disciplina física Departamento de Física. Universidade Federal de Roraima. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  27. Mayorga, Rodrigo (9 de janeiro de 2007). Análise de transmissão de preços do mercado atacadista de melão do Brasil Revista de Economia e Sociologia Rural Scielo. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  28. Rodrigues, Aldo. Funções Analíticas com Aplicações. 1ª. ed. Rio de Janeiro: Editora Livraria da Fisica. 210 pp. p. 45. ISBN 9788588325531. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  29. Shailesh Shirali 2002, seção 4 , (Douglas Downing 2003, p. 275) e Kate & Bhapkar 2009, p. 1-1
  30. Une histoire des logarithmes Université Libre de Bruxelles. Visitado em 2 de dezembro de 2014.
  31. Paiva, Manoel. Matemática Paiva. 5ª. ed. São Paulo: Atual Editora, 2010. 422 pp. p. 280. ISBN 9788516068301. Visitado em 2 de dezembro de 2014.
  32. Roseveare, David. Trigonometry. Washington: Hemus, 2004. 260 pp. p. 51. ISBN 8528903990. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  33. Lopes, Maria Isabella. Diagnóstico de alergia a baratas no ambiente clínico: estudo comparativo entre o teste cutâneo e IgE específica Jornal de Pediatria. Scielo. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  34. a b c Napier, John. A description of the admirable table of logarithms. Londres: [s.n.], 1616. 31 pp. Visitado em 2 de dezembro de 2014.
  35. Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, Nova Iorque: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5 , p. 21
  36. Introduzindo o Conceito de Logaritmo com a Calculadora Científica EL Laureano Spiem (8 de outubro de 2008). Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  37. Garcia, Antonio Carlos. Sequências: progressão aritmética, progressão geométrica e função logarítmica. [S.l.]: Clube de autores, 2008. 58 pp. p. 36. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  38. Downing, Douglas (2003), Algebra the Easy Way, Barron's Educational Series, Hauppauge, N.Y.: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9 , capítulo 17, p. 275
  39. Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0 , p. 20
  40. Van der Lubbe, Jan C. A. (1997), Information Theory, Cambridge University Press, p. 3, ISBN 9780521467605, http://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3 .
  41. Allen, Elizabeth; Triantaphillidou, Sophie (2011), The Manual of Photography, Taylor & Francis, p. 228, ISBN 9780240520377, http://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228 .
  42. B. N. Taylor (1995), Guide for the Use of the International System of Units (SI), US Department of Commerce, http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html#10.1.2 
  43. Franz Embacher; Petra Oberhuemer (em alemão), Mathematisches Lexikon, Mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium, http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html, visitado em 22 de março de 2012 
  44. Gullberg, Jan (1997), Mathematics: from the birth of numbers., Nova Iorque: W. W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9 
  45. Paul Halmos (1985), I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4 
  46. Irving Stringham (1893), Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis, The Berkeley Press, p. 13, http://books.google.com/?id=hPEKAQAAIAAJ&pg=PR13&dq=%22Irving+Stringham%22+In-natural-logarithm&q= 
  47. Roy S. Freedman (2006), Introduction to Financial Technology, Amsterdã: Academic Press, p. 59, ISBN 978-0-12-370478-8, http://books.google.com/?id=APJ7QeR_XPkC&pg=PA59&dq=%22Irving+Stringham%22+logarithm+ln&q=%22Irving%20Stringham%22%20logarithm%20ln 
  48. McFarland, David (2007), Quarter Tables Revisited: Earlier Tables, Division of Labor in Table Construction, and Later Implementations in Analog Computers, p. 1, http://escholarship.org/uc/item/5n31064n 
  49. Robson, Eleanor. Mathematics in Ancient Iraq: A Social History. [S.l.: s.n.], 2008. p. 227. ISBN 978-0691091822.
  50. Grande enciclopédia portuguesa e brasileira: Ilustrada com cerca de 15000 gravuras e 400 estampas a cores. Universidade de Michigan: Editorial Enciclopédia, 2007. p. 383-385. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  51. Gupta, R. C. (2000), "History of Mathematics in India", in Hoiberg, Dale; Ramchandani, Indu, Students' Britannica India: Select essays, Popular Prakashan, p. 329, http://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false 
  52. Stifelio, Michaele (1544), Arithmetica Integra, Nuremberg: Iohan Petreium, http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=RA1-PT419 
  53. Bukhshtab, A.A.; Pechaev, V.I. (2001), "Arithmetic", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=A/a013260 
  54. Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics, Nova Iorque: Holt, Rinehart and Winston, p. 182, ISBN 978-0-03-077670-0, http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel 
  55. Napier, John (1614) (em Latin), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, Edinburgh, Scotland: Andrew Hart, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN527914568&DMDID=DMDLOG_0001&LOGID=LOG_0001&PHYSID=PHYS_0001 
  56. Ernest William Hobson (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press, http://www.archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala 
  57. Boyer 1991, Capítulo 14, seção "Jobst Bürgi"
  58. Gladstone-Millar, Lynne (2003), John Napier: Logarithm John, National Museums Of Scotland, ISBN 978-1-901663-70-9 , p. 44
  59. Vazzover, A.. Micropogon furnieri: fecundidade e tipo de desova Instituto Oceanográfico da Universidade de São Paulo Scielo. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  60. William Harrison De Puy (1893), The Encyclopædia Britannica: a dictionary of arts, sciences, and general literature ; the R.S. Peale reprint,, 17 (9ª ed.), Werner Co., p. 179, http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?seq=7&view=image&size=100&id=nyp.33433082033444&u=1&num=179 
  61. Fronilli, Elisabete. Fibras lignocelulósicas como agente de reforço de compósitos de matriz fenólica e lignofenólica Universidade de São Paulo. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  62. Maor, Eli (2009), e: The Story of a Number, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14134-3 , seção 2
  63. Em 1647, Grégoire de Saint-Vincent publicou seu livro, Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, vol. 2 (Antuérpia, (Bélgica): Johannes and Jakob Meursius, 1647). On page 586
  64. Alphonse Antonio de Sarasa, Solutio problematis a R.P. Marino Mersenne Minimo propositi … [Proposta de solução para um problema pelo reverendo padre Marin Mersenne, membro da ordem Minim … ], (Antuérpia, (Bélgica): Johannes e Jakob Meursius, 1649).
  65. J. J. O'Connor; E. F. Robertson (Setembro de 2001), The number e, The MacTutor History of Mathematics archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html, visitado em 2 de fevereiro de 2009 
  66. Cajori, Florian (1991), A History of Mathematics (5ª ed.), Providence, RI: AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-2102-2, http://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&printsec=frontcover#v=onepage&q=speidell&f=false , p. 152
  67. a b Maor 2009, seções 1, 13
  68. Eves, Howard Whitley (1992), An introduction to the history of mathematics, The Saunders series (6ª ed.), Philadelphia: Saunders, ISBN 978-0-03-029558-4 , seção 9-3
  69. Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics, Nova Iorque: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-54397-8 , p. 484, 489
  70. Santos, Fátima Rosane J. B.. Crescimento alométrico em crianças eutróficas e desnutridas Biblioteca Virtual em Saúde Bireme. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  71. Bryant, Walter W., A History of Astronomy, Londres: Methuen & Co, http://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up , p. 44
  72. Campbell-Kelly, Martin (2003), The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets, Oxford scholarship online, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850841-0 , seção 2
  73. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (10ª ed.), Nova Iorque: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0 , seção 4.7., p. 89
  74. de Oliveira, Evangelina X. G.. Acesso à internação hospitalar nos municípios brasileiros em 2000: territórios do Sistema Único de Saúde Scielo SP. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  75. Quantificação da biomassa acima do solo de Acacia mearnsii Cascavel. Universidade Federal de Santa Maria. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  76. Spiegel, Murray R.; Moyer, R.E. (2006), Schaum's outline of college algebra, Schaum's outline series, Nova Iorque: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-145227-4 , p. 264
  77. Bails, Benito. Tabla de logaritmos de todos los números naturales desde 1 hasta 20000; y de todos los logaritmos de los senos, tangentes de todos los grados y minutos del quadrante del circulo. [S.l.]: Universidade Complutense de Madri, 2009. 531 pp. p. 1-425. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  78. Resende, André Lara. Sobre as causas da recente aceleração inflacionária Pesquisa e Planejamento Econômico. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  79. Drago, Massimo. Manuale per i concorsi di sottufficiale nell'esercito. Paris: Alpha Test, 2005. 416 pp. p. 292-294. ISBN 9788848306201. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  80. Schneider, Cristina (1986). Padrões ecocardiográficos normais em crianças na cidade do Rio de Janeiro: I. Relaçäo entre medidas ecocardiográficas e padröes antropométricos Bireme. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  81. Devlin, Keith. In: Keith. Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics. 3ª. ed. Boca Raton, Fla: Chapman & Hall/CRC, 2004. ISBN 1-58488-449-5.
  82. Lang, Serge (1997), Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94841-6 , seção III.3
  83. Cueto, Maria José Vásquez. Curso interactivo de matemáticas básicas para ciencias. [S.l.]: Delta Publicaciones. 127 pp. p. 20-22. ISBN 9788496477056. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  84. Inércia inflacionária e inflação inercial. Inércia inflacionária e inflação inercial Biblioteca Digital. Fundação Getúlio Vargas. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  85. a b Lang 1997, seção IV.2
  86. Boucharlat, J. L.. Elementos de cálculo diferencial y de cálculo integral. Madri: Imprenta Real, 1834. 436 pp. p. 42. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  87. Dieudonné, Jean. Foundations of Modern Analysis. [S.l.]: Academic Press, 1969. p. 84. vol. 1.
  88. e-Cálculo para propriedades matemáticas Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada. Universidade de São Paulo. (2 de março de 2012). Visitado em 23 de novembro de 2014.
  89. Artículo Educar. Redalyc (2011). Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  90. Stewart, James (2007), Single Variable Calculus: Early Transcendentals, Belmont: Thomson Brooks/Cole, ISBN 978-0-495-01169-9 , seção 1.6
  91. Consumo, digestibilidade, desempenho, composição corporal e exigências nutricionais de bezerros alimentados com dietas contendo diferentes níveis de volumoso.. Alianza de Servicios de Información Agraria Universidade Federal de Viçosa. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  92. Rocha, Carlos Henrique. Complementaridade versus substituição entre investimento público e privado na economia brasileira: 1965-90 Revista Brasileira de Economia. Fundação Getúlio Vargas. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  93. Calculation of d/dx(Log(b,x)) Wolfram Alpha Wolfram Research. Visitado em 15 de março de 2011.
  94. Dailami, Mansoor. Qualidade do crescimento a(t). [S.l.]: Universidade Estadual Paulista, 2003. 304 pp. p. 209. ISBN 9788571394414. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  95. Véras, Antonia Sherlânea Chaves (2001). Composição corporal e requisitos líquidos e dietéticos de macroelementos minerais de bovinos nelore não-castrados Scielo. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  96. Kline, Morris (1998), Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, Nova Iorque: Dover Publications, ISBN 978-0-486-40453-0 , p. 386
  97. Calculation of Integrate(ln(x)) Wolfram Alpha Wolfram Research. Visitado em 15 de março de 2011.
  98. Abramowitz & Stegun, eds. 1972, p. 69
  99. Backes. Composição corporal e exigências líquidas de energia e proteína para ganho de peso de novilhos santa gertrudis Revista Brasileira de Economia. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  100. Courant, Richard (1988), Differential and integral calculus. Vol. I, Wiley Classics Library, Nova Iorque: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60842-4 , seção III.6
  101. Faraco, Mário Antonio (2008). Seleção de modelos de variabilidade espacial para elaboração de mapas temáticos de atributos físicos do solo e produtividade da soja Sidalc. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  102. Ríos, Mario Alberto Gaviria. Lecturas sobre Crecimiento Económico Regional. [S.l.]: Juan Carlos Martínez Coll, 2005. p. 132. ISBN 9788468942704. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  103. Marroquín, Néstor. Tras los pasos de un... Hacker. [S.l.]: NMC Research Cía Ltda, 2010. 746 pp. p. 659. ISBN 9781453850435. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  104. Havil, Julian (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09983-5 , seções 11.5 e 13.8
  105. Eletrólitos sólidos poliméricos à base de polissacarídeos: síntese e caracterização AM Regiani Universidade de São Paulo (2000). Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  106. Nomizu, Katsumi (1996), Selected papers on number theory and algebraic geometry, 172, Providence, RI: AMS Bookstore, p. 21, ISBN 978-0-8218-0445-2, http://books.google.com/books?id=uDDxdu0lrWAC&pg=PA21 
  107. Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3 , p. 10
  108. Muller, Jean-Michel (2006), Elementary functions (2ª ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4372-0 , seções 4.2.2 (p. 72) e 5.5.2 (p. 95)
  109. Hart, Cheney, Lawson et al. (1968), Computer Approximations, SIAM Series in Applied Mathematics, Nova Iorque: John Wiley , seção 6.3, p. 105–111
  110. Zhang, M.; Delgado-Frias, J.G.; Vassiliadis, S. (1994), "Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation", IEE Proceedings Computers & Digital Techniques 141 (5): 281–292, doi:10.1049/ip-cdt:19941268, ISSN 1350-2387, http://ce.et.tudelft.nl/publicationfiles/363_195_00326783.pdf , seção 1
  111. a b Revisão de Geometria Plana Rumo à Oita. Instituto Militar de Engenharia (1984). Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  112. a b Abramowitz & Stegun, eds. 1972, p. 68
  113. Baptista, A.. Palestra sobre logaritmos Sober. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  114. William D. Callister. Introducción a la ciencia e ingeniería de los materiales, Volume 1. [S.l.]: Reverte, 2002. 524 pp. p. 308. ISBN 9788429172539. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  115. Salmazo, Leandara Oliveira. Influência da adição de nanopartículas paramagnéticas de Ni0,5Zn0,5Fe2O4 nas propriedades estruturais e dielétricas de filmes de borracha natural: preparação e caracterização Universidade Estadual Paulista. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  116. Joshuah de Bragança Soares. Dicionário de matemática. [S.l.]: Hemus, 2005. 285 pp. p. 121. ISBN 9788528905526. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  117. Francisco Lombardi Neto. Erosividade da chuva: sua distribuição e relação com as perdas de solo em Campinas (SP). Scientific Electronic Library Online. Sidalc. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  118. Lenimar Nunes de Andrade (Setembro de 2011). Máxima: um completo programa de computação algébrica Universidade Federal do Paraíba. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  119. Basic: introducción a la programación. [S.l.]: Reverte, 1984. 271 pp. p. 58. ISBN 9788471462473. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  120. Luiz Fernando Alves. Clubes de convergência entre os municípios de Minas Gerais Universidade Federal de Minas Gerais. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  121. Igor Viveiros Souza. Eficiência do setor hospitalar nos municípios paulistas Scielo. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  122. Circuitos e dispositivos eletrônicos. [S.l.]: Hemus. 98 pp. p. 14. ISBN 9788528900118. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  123. Sasaki, T.; Kanada, Y. (1982), "Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)", Journal of Information Processing 5 (4): 247–250, http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332, visitado em 30 de março de 2011 
  124. Ahrendt, Timm (1999), Fast computations of the exponential function, Lecture notes in computer science, 1564, Berlim, Nova Iorque: Springer, pp. 302–312, doi:10.1007/3-540-49116-3_28 
  125. Domingos Junqueira de Brito. Astros e Ostras. [S.l.]: Editora Agora. 368 pp. p. 313. ISBN 9788571835399. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  126. Ulisses dos Santos Borges. Curso de Logaritmo para o Ensino Médio com proposta de atividades alternativas Matemática em Rede Nacional. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  127. a b As aplicações dos logaritmos nas ciências naturais por meio de resolução de problemas Instituto Federal de Goiás. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  128. a b Bolzano e Laplace; O Teorema Fundamental das Curvas Planas e Aplicações VI Enapetmat Universidade Federal de Santa Catarina e Universidade de Brasília. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  129. Ricciardi, Luigi M. (1990), Lectures in applied mathematics and informatics, Manchester: Manchester University Press, ISBN 978-0-7190-2671-3, http://books.google.de/books?id=Cw4NAQAAIAAJ , p. 21, seção 1.3.2
  130. Jasmuheen. O programa Prana. [S.l.]: Lulu.com, 2008. 154 pp. p. 63. ISBN 9781409205258. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  131. Bakshi, U. A. (2009), Telecommunication Engineering, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-725-1, http://books.google.com/books?id=EV4AF0XJO9wC&pg=SA5-PA1#v=onepage&f=false , seção 5.2
  132. Maling, George C. (2007), Rossing, Thomas D., ed., Springer handbook of acoustics, Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-30446-5 , seção 23.0.2
  133. Tashev, Ivan Jelev (2009), Sound Capture and Processing: Practical Approaches, Nova Iorque: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-31983-3, http://books.google.com/books?id=plll9smnbOIC&pg=PA48#v=onepage&f=false , p. 48
  134. Chui, C.K. (1997), Wavelets: a mathematical tool for signal processing, SIAM monographs on mathematical modeling and computation, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-384-8, http://books.google.com/books?id=N06Gu433PawC&pg=PA180#v=onepage&f=false , p. 180
  135. Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008), Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra (4° ed.), Boston: Cengage Learning, ISBN 978-0-547-15669-9 , seção 4.4.
  136. Bradt, Hale (2004), Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations, Cambridge Planetary Science, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53551-9 , seção 8.3, página 231
  137. Papel logarítmico: este tipo de papel é utilizado para representar relações funcionais exponenciais entre duas grandezas Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Visitado em 24 de novembro de 2014.
  138. Goldstein, E. Bruce (2009), Encyclopedia of Perception, Encyclopedia of Perception, Thousand Oaks, CA: Sage, ISBN 978-1-4129-4081-8, http://books.google.de/books?id=Y4TOEN4f5ZMC , p. 355–356
  139. Matthews, Gerald (2000), Human performance: cognition, stress, and individual differences, Human Performance: Cognition, Stress, and Individual Differences, Hove: Psychology Press, ISBN 978-0-415-04406-6, http://books.google.de/books?id=0XrpulSM1HUC , p. 48
  140. Welford, A. T. (1968), Fundamentals of skill, Londres: Methuen, ISBN 978-0-416-03000-6, OCLC 219156 , p. 61
  141. Paul M. Fitts (Junho de 1954), "The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement", Journal of Experimental Psychology 47 (6): 381–391, doi:10.1037/h0055392, PMID 13174710 , reimpresso por Paul M. Fitts (1992), "The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement" (PDF), Journal of Experimental Psychology: General 121 (3): 262–269, doi:10.1037/0096-3445.121.3.262, PMID 1402698, http://sing.stanford.edu/cs303-sp10/papers/1954-Fitts.pdf, visitado em 30 de março de 2011 
  142. Banerjee, J. C. (1994), Encyclopaedic dictionary of psychological terms, New Delhi: M.D. Publications, ISBN 978-81-85880-28-0, OCLC 33860167, http://books.google.com/?id=Pwl5U2q5hfcC&pg=PA306&dq=weber+fechner+law#v=onepage&q=weber%20fechner%20law&f=false , p. 304
  143. Nadel, Lynn (2005), Encyclopedia of cognitive science, Nova Iorque: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-01619-0 
  144. Siegler, Robert S.; Opfer, John E. (2003), "The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity", Psychological Science 14 (3): 237–43, doi:10.1111/1467-9280.02438, PMID 12741747, http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf 
  145. Dehaene, Stanislas; Izard, Véronique; Spelke, Elizabeth; Pica, Pierre (2008), "Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures", Science 320 (5880): 1217–1220, doi:10.1126/science.1156540, PMID 18511690 
  146. Breiman, Leo (1992), Probability, Classics in applied mathematics, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-296-4 , seção 12.9
  147. Aitchison, J.; Brown, J. A. C. (1969), The lognormal distribution, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-04011-2, OCLC 301100935 
  148. Jean Mathieu and Julian Scott (2000), An introduction to turbulent flow, Cambridge University Press, p. 50, ISBN 978-0-521-77538-0, http://books.google.com/books?id=nVA53NEAx64C&pg=PA50 
  149. Rose, Colin; Smith, Murray D. (2002), Mathematical statistics with Mathematica, Springer texts in statistics, Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95234-5 , seção 11.3
  150. Tabachnikov, Serge (2005), Geometry and Billiards, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 36–40, ISBN 978-0-8218-3919-5 , seção 2.1
  151. Durtschi, Cindy; Hillison, William; Pacini, Carl (2004), "The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data", Journal of Forensic Accounting V: 17–34, http://www.auditnet.org/articles/JFA-V-1-17-34.pdf 
  152. Harel, David; Feldman, Yishai A. (2004), Algorithmics: the spirit of computing, Nova Iorque: Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-11784-7 , p. 143
  153. Donald Knuth 1998, seção 5.2.4, pp. 158–168
  154. Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag, p. 20, ISBN 978-3-540-21045-0 
  155. Mohr, Hans; Schopfer, Peter (1995), Plant physiology, Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58016-4 , capítulo 19, página 298
  156. Eloi da Silva Pereira. A importância do logaritmo para a sociedade Encontro Nacional de Educação Matemática. Universidade Estadual da Bahia. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  157. Eco, Umberto (1989), The open work, Harvard University Press, ISBN 978-0-674-63976-8 , seção III.I
  158. Sprott, Julien Clinton (2010), Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows, Nova Jersei: World Scientific, ISBN 978-981-283-881-0, http://books.google.com/books?id=buILBDre9S4C , seção 1.9
  159. Helmberg, Gilbert (2007), Getting acquainted with fractals, De Gruyter Textbook, Berlim, Nova Iorque: Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019092-2 
  160. Aula 10 — UCG Pontifícia Universidade Católica de Goiás (Janeiro de 2012). Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  161. Ladeira, Luiz Augusto da Costa. A função logaritmo e a régua de cálculo Digital Library. Universidade de São Paulo. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  162. G M. Bruño. Álgebra y trigonometría. [S.l.]: Oxford University Press, 1825. p. 24. Visitado em 3 de dezembro de 2014.
  163. Wright, David (2009), Mathematics and music, Providence, RI: AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4873-9 , capítulo 5
  164. Bateman, P. T.; Diamond, Harold G. (2004), Analytic number theory: an introductory course, Nova Jersei: World Scientific, ISBN 978-981-256-080-3, OCLC 492669517 , theorem 4.1
  165. P. T. Bateman & Diamond 2004, Theorem 8.15
  166. Slomson, Alan B. (1991), An introduction to combinatorics, Londres: CRC Press, ISBN 978-0-412-35370-3 , capítulo 4
  167. Simpson, Thomas. Trigonometry, Plane and Spherical. [S.l.]: Biblioteca Britânica, 1765. p. 47.
  168. Dennis G. Zill. A First Course in Complex Analysis with Applications. [S.l.]: Jones & Bartlett Publishers, 2011. 405 pp. p. 95. ISBN 9781449657529.
  169. Ganguly, S. (2005), Elements of Complex Analysis, Kolkata: Academic Publishers, ISBN 978-81-87504-86-3 , Definition 1.6.3
  170. Nevanlinna, Rolf Herman; Paatero, Veikko (2007), Introduction to complex analysis, Providence, RI: AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4399-4 , seção 5.9
  171. Moore, Theral Orvis; Hadlock, Edwin H. (1991), Complex analysis, Singapore: World Scientific, ISBN 978-981-02-0246-0 , seção 1.2
  172. A. S. Fokas. Complex Variables. [S.l.]: 9780521534291, 2003. 647 pp. p. 49. ISBN 9780521534291.
  173. Wilde, Ivan Francis (2006), Lecture notes on complex analysis, Londres: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-642-4, http://books.google.com/?id=vrWES2W6vG0C&pg=PA97&dq=complex+logarithm#v=onepage&q=complex%20logarithm&f=false , theorem 6.1.
  174. Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, Philadelphia, PA: SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7 , capítulo 11.
  175. Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlim: Springer-Verlag, MR1697859, ISBN 978-3-540-65399-8 , seção II.5.
  176. Hancock, Edwin R.; Martin, Ralph R.; Sabin, Malcolm A. (2009), Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings, Springer, p. 379, ISBN 978-3-642-03595-1, http://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379 
  177. Stinson, Douglas Robert (2006), Cryptography: Theory and Practice (3ª ed.), Londres: CRC Press, ISBN 978-1-58488-508-5 
  178. Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Finite fields, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39231-0 
  179. Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996), "On the Lambert W function", Advances in Computational Mathematics (Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag) 5: 329–359, doi:10.1007/BF02124750, ISSN 1019-7168, http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf 
  180. Cherkassky, Vladimir; Cherkassky, Vladimir S.; Mulier, Filip (2007), Learning from data: concepts, theory, and methods, Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control, Nova Iorque: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-68182-3 , p. 357
  181. Bourbaki, Nicolas (1998), General topology. Chapters 5—10, Elements of Mathematics, Berlim, Nova Iorque: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64563-4 , seção V.4.1
  182. Ambartzumian, R. V. (1990), Factorization calculus and geometric probability, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-34535-4 , seção 1.4
  183. Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing theorems, DMV Seminar, 20, Basel, Boston: Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-2822-1 , seção 2
  184. Apostol, T.M. (2010), "Logaritmo", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, MR2723248, ISBN 978-0521192255, http://dlmf.nist.gov/25.12 

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