Distribuição log-normal

A função densidade de probabilidade da distribuição log-normal para µ=0 e diferentes valores de σ.

A função distribuição acumulada da distribuição log-normal para µ=0 e diferentes valores de σ.

Em probabilidade e estatística, uma variável aleatória X tem a distribuição log-normal quando o seu logaritmo $Y = log(X)\,$ tem a distribuição normal. Logo, sua função de densidade é

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{\left(\ln(x)-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right]$

A importância da distribuição log-normal se deve a um resultado análogo ao Teorema do Limite Central: assim como uma distribuição normal aparece quando são somadas várias variáveis independentes (para ver o enunciado mais preciso, consulte o artigo sobre o teorema), a distribuição log-normal aparece naturalmente como o produto de várias variáveis independentes (sempre positivas).

Por exemplo, em Finanças, o preço de uma ação no futuro pode ser modelado como o efeito de vários pequenos ajustes independentes, ou seja:

$P_n = P_0 \times (1 \pm \epsilon_1) \times \ldots \times (1 \pm \epsilon_n)\,$

Ou seja, aplicando o log, temos que $\log P_n\,$ é a soma de várias variáveis aleatórias independentes, ou seja, pode ser aproximado por uma distribuição normal - portanto P_n pode ser aproximado por uma log-normal.

Média

O valor esperado de $X = \exp(Y)\,$, quando Y é uma variável aleatória normal, vale:

$E(X) = E(\exp(Y)) = \exp(E(Y) + 0.5 \mbox{var}(Y))\,$

em que $\mbox{var}(Y)\,$ é a variância de Y.

Variância

A variância da log-normal também pode ser expressa em função da normal. Sendo $X = \exp(Y)\,$ e Y normal, temos:

$\mbox{var}(X) = \exp(2 E(Y) + \mbox{var}(Y)) (\exp(\mbox{var}(Y)) - 1)\,$

Fórmulas inversas

Seja $X = \exp(Y)\,$, então a média e variância de Y podem ser expressas em função da média e variância de X como:

$E(Y) = \ln(E(X))-\frac{1}{2}\ln\left(1+\frac{\mbox{var}(X)}{(E(X))^2}\right),$

$\mbox{Var}(Y) = \ln\left(\frac{\mbox{Var}(X)}{(E(X))^2}+1\right).$

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