Proporcionalidade

 Nota: Se procura outras acepções - ou casos específicos como as proporções direta ou com o inverso do quadrado -, veja proporcionalidade (desambiguação).

A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.

Definição

Em regra, a proporcionalidade é uma relação binária que pode ocorrer numa dupla de funções reais de mesmo domínio. Uma função é proporcional a outra se a somente se existe(m) alguma(s) constante(s) real(is) – denominada(s) constante(s) de proporcionalidade – que igual(em) cada razão entre as valorações. Então, dados um conjunto $X \subseteq \mathbb{R}$ e duas funções $f, g: X \to \mathbb{R}$, temos que: $f$ é proporcional a $g$ se e só se existe alguma constante real $k$ tal que, para todo $x$ ao longo de $X$, $\frac{f(x)}{g(x)} = k$ Isso é

$f \propto g \iff \exists k \in \mathbb{R} .\quad \forall x \in X .\quad \frac{f(x)}{g(x)} = k$

Isso vale para os números reais; álgebras exóticas não serão abordadas nesse artigo.

Sendo verdadeira a proporcionalidade, existirão exatamente um ou dois valores possíveis para $k$.

$\forall x \in X .\quad k \in \left\{ \frac{f(x)}{g(x)}, \frac{g(x)}{f(x)} \right\}$

E mantêm a propriedade de serem inversas multiplicativas uma da outra.

Propriedades

Algumas propriedades da proporcionalidade serão enunciadas e provadas abaixo:

Equivalente

A relação de proporcionalidade é reflexiva, comutativa (ou "simétrica") e transitiva, portanto, é uma relação de equivalência.

Reflexiva

Toda função é proporcional a si mesma.

$f \propto f$

Provada a partir da definição:

$\forall x \in X .\quad \frac{f(x)}{f(x)} = 1$

Este é o único caso em que existe uma só constante real de proporcionalidade.

Comutativa (ou "Simétrica")

Não existe a ordem dos objetos não altera a proporcionalidade.

$f \propto g \iff g \propto f$

Isso porque compartilham do mesmo conjunto de constantes de proporcionalidade:

$\forall x \in X .\quad k \in \left\{ \tfrac{f(x)}{g(x)}, \tfrac{g(x)}{f(x)} \right\} = \left\{ \tfrac{g(x)}{f(x)}, \tfrac{f(x)}{g(x)} \right\}$

Transitiva

A proporcionalidade é transitiva:

$f \propto g \and g \propto h \iff f \propto h$

Portando a expressão acima pode ser simplificada em:

$f \propto g \propto h$

Prova-se a partir da definição:

$\begin{align} \forall x \in X .\quad f(x) &= \alpha \cdot g(x) \\ \forall x \in X .\quad g(x) &= \beta \cdot h(x) \\ \therefore \forall x \in X .\quad f(x) &= \alpha\beta \cdot h(x) \\ \end{align}$

O produto entre constantes é constante.

Mecanismos de resolução

Eis alguns processos de cálculo que conservam uma proporcionalidade verdadeira:

1. Multiplicação de ambos os termos
2. Inversão de ambos os termos
3. Eliminação de constantes

Algorítimos

1. "Regra de três" ou "Multiplicação cruzada"
2. "Regra de três composta"

Deduzindo proporcionalidades a partir de igualidades

Considere, por exemplo, a equação de Clapeyron:

$\forall t \in \mathfrak{T} .\quad P(t) \cdot V(t) = n(t) \cdot R \cdot T(t)$

Formas de proporcionalidade

Retórica	Simbologia	Exemplo
"variação proporcional"	$\Delta a \propto \Delta b$	Retas paralelas
"directamente proporcional"	$a \propto b$	Semelhança de triângulos
"inversamente proporcional"	$ab \propto 1$	Lei de Boyle-Mariotte (pressão e volume)
"proporcional ao quadrado"	$a \propto b^2$	Esfera (raio e volume)
"inversamente proporcional ao quadrado"	$ab^2 \propto 1$	Gravitação Universal e Lei de Coulomb (força e distância)
"proporcional ao cubo"	$a \propto b^3$	Semelhança de pirâmides
"inversamente proporcional ao cubo"	$ab^3 \propto 1$	Força dipolo permanente (força e distância)
"quadrado proporcional ao cubo"	$a^2 \propto b^3$	Terceira lei de Kepler (período e semieixo maior)
"em divina proporção"	$\tfrac{a+b}{a} = \tfrac{a}{b}$	As alturas do Homem vitruviano até o umbigo e até a cabeça.

Proporcionalidade inversa

Se duas funções são inversamente proporcionais, então uma é proporcional ao inverso multiplicativo da outra.

$a \propto b^{-1} \iff b \propto a^{-1}$

Isso ocorre por que podemos inverter ambos os termos da expressão de proporcionalidade. Ambas as formas estabelecem que:

$ab \propto 1$

"Divina proporção"

Quando o "número de ouro" $\left( \varphi \approx 1,618 \right)$ é uma constante duma relação verdadeira de proporcionalidade entre funções positivas diz-se que estão em divina proporção.

Isso ocorre se e somente se:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \quad\therefore\quad \frac{a}{b} = \varphi$

Aplicações

Além de um enorme número de aplicações cotidianas, a proporcionalidade, associada à análise dimensional é muito útil ao empirismo científico.

A proporcionalidade também é de interesse das artes e do estudo da estética.

Linearização

Embora a mais simples relação entre grandezas, é sabido contudo que grande parte das relações encontradas entre grandezas físicas naturais não se fazem mediante proporção direta. Há contudo ferramentas matemáticas específicas, a exemplo a troca de variáveis e as linearizações, que permitem reduzir uma relação inicialmente mais complicada a uma relação de proporção direta, quando não ao longo de todo o domínio de validade da relação, ao menos localmente. A expansão em séries de Taylor desempenha importante papel em áreas científicas exatas tanto em teorias como na prática. Indica-se a leitura de artigos específicos para maiores informações sobre o assunto.

Ver também

• Razão
• Proporção direta
• Proporção inversa
• Variação com o inverso do quadrado
• Variação com o quadrado
• Variação com o cubo
• Linearização

Bibliografia

• Lima, Elon Lages. Temas e problemas. 1.ed. SBM, 2001. 193 p. Capítulo 1. ISBN 8585818166