Função de Bessel

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A Função de Bessel é a solução da equação diferencial

x^2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + (x^2 - \alpha^2)y = 0 ,

para um número \alpha qualquer, real ou complexo. Quando utiliza-se um número inteiro, este é referido como a ordem da função de Bessel.

A função de Bessel de primeira espécie pode ser representada por uma série de Taylor, para um \alpha inteiro:

 J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} .

A função de Bessel de segunda espécie é representada por

Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)} .

Algumas relações da função de Bessel da primeira espécie:

 \frac{d} {dz} \{J_\alpha (z)\}=J_{\alpha-1}(z)-\frac{\alpha}{z}J_{\alpha}(z)
 \frac{d} {dz} \{ z^\alpha J_\alpha (z)\}=z^\alpha J_{\alpha-1}(z)
 J_{-n} (z) = (-1)^n J_{n} (z) para n inteiro.

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