Independência linear

Em álgebra linear, um conjunto S de vectores diz-se linearmente independente se nenhum dos seus elementos for combinação linear dos outros.

Definição formal

Seja S um subconjunto de um espaço vectorial V. O conjunto S diz-se linearmente dependente (ou os vectores de S dizem-se linearmente dependentes) se existe um subconjunto finito F de S e escalares $\lambda_v,v\in F$, não todos nulos, tais que $\sum_{v \in F} \lambda_v\ v = 0$. O conjunto S (ou os seus vectores) diz-se linearmente independente se para qualquer subconjunto finito F de S se tem $\sum_{v \in F} \lambda_v\ v = 0\Rightarrow \lambda_v=0\,\forall v\in F$.

Exemplos

Os vectores u e j são linearmente dependentes (são colineares); os vectores u e v são linearmente independentes; os vectores u, w e k são linearmente independentes.

• O conjunto vazio é linearmente independente
• Um conjunto unitário, em que o seu único elemento não seja o vetor nulo, é linearmente independente
• Dois vectores do plano são linearmente dependentes se e só se um for múltiplo do outro (isto é, se são colineares).
• Em $\R^3$:
  • O conjunto {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é linearmente independente.
  • O conjunto {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} é linearmente independente.
  • Qualquer subconjunto de $\R^3$ com mais de três vectores é linearmente dependente.
  • Três vectores não nulos e não colineares são linearmente dependentes se estiverem contidos em um mesmo plano
  • Três vectores são linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por suas coordenadas for igual a zero.

Ver também

• Wikilivros

• Base