Independência linear

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Em álgebra linear, um conjunto S de vectores diz-se linearmente independente se nenhum dos seus elementos for combinação linear dos outros.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Um subconjunto S de um espaço vectorial V diz-se linearmente dependente se existe um subconjunto finito F de S e escalares \lambda_v,v\in F, não todos nulos, tais que \sum_{v \in F} \lambda_v\ v = 0. O conjunto S diz-se linearmente independente se para qualquer subconjunto finito F de S se tem \sum_{v \in F} \lambda_v\ v = 0\Rightarrow \lambda_v=0\,,\forall v\in F.[1] [2]

Nestas situações, diz-se também que os vetores do subconjunto S são linearmente dependentes ou linearmente independentes, respectivamente.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Os vectores u e j são linearmente dependentes (são paralelos); os vectores u e v são linearmente independentes (formam uma base para o plano P da imagem); os vectores u, w e k são linearmente independentes (formam uma base para um espaço vetorial de três dimensões)
  • O conjunto vazio é linearmente independente[3]
  • Um conjunto unitário cujo único elemento não é o vetor nulo, é linearmente independente[4]
  • Dois vectores do plano são linearmente dependentes se e só se um for múltiplo do outro (isto é, se são colineares).
  • Em \R^3:
    • O conjunto {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é linearmente independente.
    • O conjunto {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} é linearmente independente.
    • Qualquer subconjunto de \R^3 com mais de três vectores é linearmente dependente.
    • Três vectores não nulos e não colineares são linearmente dependentes se estiverem contidos em um mesmo plano
    • Três vectores são linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por suas coordenadas for igual a zero.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Noble & Daniel, 1986, p. 89
  2. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 67–68
  3. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 68
  4. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 74

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa. Álgebra Linear e Aplicações. 6 ed. São Paulo: Atual, 1990. ISBN 9788570562975
  • Noble, Ben; James W. Daniel. Álgebra Linear Aplicada. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1986. ISBN 9788570540225

Ver também[editar | editar código-fonte]

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