Matriz (matemática)

Em matemática, uma matriz m X n é uma tabela de m linhas e n colunas de símbolos sobre um conjunto, normalmente um corpo, F, representada sob a forma de um quadro s. As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

Organização de uma matriz

Notação

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como a_i,j ou a[i,j]. Nesse exemplo, o elemento a_{1 2} é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, a_ij = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5\end{bmatrix}$.

Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (C e seus dialetos). Por exemplo, o elemento a(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.

Classificação de matrizes quanto ao número de colunas ou linhas

Matriz quadrada

Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos a_ij onde i = j, para i de 1 a n.

Vetor

Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.

Classificação de matrizes quanto às suas propriedades

Tipo de matriz	é quadrada?	Tem inversa?	Qual é sua transposta?	Positiva/ negativa definida?
Matriz identidade In	Sempre	Sim, ela mesma: In	Ela mesma, In (é uma matriz simétrica)	Sempre é positiva definida
Matriz inversa B − 1	Sempre	Sim, e é igual à matriz original, B	$\left ( {B}^{-1} \right )^T$	Positiva definida se B for positiva definida
Matriz singular C	Sempre	Nunca	CT
Matriz simétrica D	Sempre	Não necessariamente	DT = D	Negativa definida se e apenas se todos os valores característicos de D forem negativos
Matriz transposta Et	Não necessariamente	Não necessariamente	E
Matriz positiva definida F	Sempre	Sim, e F-1 também é positiva definida	Ft	Sempre é positiva definida
Matriz negativa definida G	Sempre	Sim, e G-1 também é negativa definida	Gt	Sempre é negativa definida

Matriz identidade

A matriz identidade I_n é a matriz quadrada n × n em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo

$I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

Ela é chamada de matriz identidade pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz: MI_n = I_mM = M para qualquer matriz M de ordem m por n.

Matriz inversa

Uma matriz A ^{− 1} é dita inversa de uma matriz A, se obedece à equação matricial A.A ^{− 1} = I, ou seja, se o produto entre as matrizes é a matriz identidade. A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz A, a matriz inversa é única. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação $\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \cdot \mbox{adj}(\mathbf{A})$, pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.

Matriz transposta

A matriz transposta de uma matriz A_{m × n} é a matriz A^t_{n × m} em que $a^{t}_{ij} = a_{ji}$, ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-ão elementos da n coluna. Exemplo: $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, A^t = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$

Matriz simétrica

Uma matriz A é simétrica se A = A^t. Isso só ocorre com matrizes quadradas.

Um tipo especial de matriz simétrica é a matriz idempotente.

Matriz positiva/negativa (semi)definida

A classificação de uma matriz em positiva ou negativa definida ou semi-definida é similar à classificação dos números reais em positivos ou negativos.

Seja M uma matriz quadrada de dimensão nXn e z um vetor não nulo (ou seja, que tenha pelo menos um elemento diferente de zero) de dimensão nX1. Note que se n=1, temos a definição de número real positivo ou negativo.

Tipo de matriz	Semi-definida	Definida
Positiva	M positiva semidefinida se $z^TMz \ge 0, \forall z \in \mathbb{R}^N$	M é positiva definida se $z^TMz > 0, \forall z \in \mathbb{R}^N$
Negativa	M é negativa semidefinida se $z^TMz \le 0, \forall z \in \mathbb{R}^N$	M é negativa definida se $zMz < 0, \forall z \in \mathbb{R}^N$

Operações envolvendo matrizes

Não se define adição ou subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

Multiplicação por um escalar

A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número k qualquer por uma matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada a_ij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e b_ij = k.a_ij. Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

Por exemplo:

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

Adição e subtração entre matrizes

Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].

Por exemplo:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-B, você usará A+B.

Lembre-se: Você só pode fazer isso com Matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em -A+B, o A que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por:

$(AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + ... + A[i,n] B[n,j] \,\!$

para cada par i e j.

Por exemplo:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

É importante notar que a comutatividade não é garantida; isto é, dadas as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠ BA.

Propriedades

Determinante

O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas.

Transposta da multiplicação

Para respeitar a correspondência entre linhas e colunas de uma multiplicação, a transposta de uma multiplicação de matrizes é dada como a transposta de cada matriz multiplicada na ordem inversa.

Para o caso de duas matrizes:

(A * B)^t = B^t * A^t

No caso de N matrizes:

(A * B * C * ... * N)^t = N^t * ... * B^t * A^t

Característica

A característica ou posto de uma matriz é um inteiro não negativo que representa o número máximo de linhas (ou colunas) da matriz que são linearmente independentes.

Ver também

• Wikilivros

• O conjunto das matrizes n×m sobre um corpo F com as operações de soma de matrizes e multiplicação de escalar por matriz forma um espaço vetorial de dimensão nm sobre F.
• O espaço vetorial das matrizes n×n sobre um corpo F com a operação de multiplicação de matrizes forma uma álgebra associativa com elemento identidade sobre o corpo F.
• O conceito de matriz pode ser generalizado para o de tensor. Assim como uma matriz m x n representa uma transformação linear de um espaço de dimensão n em um espaço de dimensão m, um tensor representa uma transformação n-linear que leva n₁ vetores em n₂ vetores.