Divisão por zero

A função y=1/x. Ao mesmo tempo em que x se aproxima de 0 da direita, y se aproxima do infinito (e vice-versa).

Na matemática, uma divisão é chamada divisão por zero se o divisor é zero. Tal divisão pode ser formalmente expressada como $\textstyle\frac{a}{0}$ no qual a é o dividendo. Uma valor bem definido para essa expressão depende do contexto matemático. Para a aritmética com números reais, a expressão não possui significado.

Em programação de computadores, a divisão inteira por zero pode causar o término do programa ou, no caso de números de ponto flutuantes, pode resultar no valor especial NaN (not-a-number).

Interpretação em aritmética elementar

Quando uma divisão é explicada no nível elementar, freqüentemente usa-se a descrição da divisão de um conjunto de objetos em partes iguais. Como exemplo, se tem-se dez maçãs, e deseja-se distribuí-las entre cinco pessoas, cada pessoa irá receber $\textstyle\frac{10}{5}$ = 2 maçãs. Se tem-se dez maçãs e deseja-se distribuir entre zero pessoas, quantas maçãs cada pessoa receberá? Uma tentativa para calcular $\textstyle\frac{10}{0}$ torna-se sem sentido pois a questão por si própria não possui sentido. Cada "pessoa" não recebe zero, ou dez ou infinitas maçãs, pelo simples fato de não haver pessoas para receber maçãs. Para a aritmética básica, considera-se então que a divisão por zero não possui sentido, é indefinida.

Outra maneira de entender a natureza indefinida da divisão por zero é perceber uma divisão como repetidas subtrações. Para dividir treze por cinco, pode-se subtrair cinco duas vezes, restando três. O dividendo é subtraído até que o resto seja menor que o divisor. Mas, no caso do zero, repetidas subtrações por zero nunca resultarão em um resto menor que o divisor, então a divisão não é definida.

Primeiras tentativas

Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta (598–668) é o primeiro texto conhecido a tratar o zero como um número e a definir operações envolvendo o zero. O autor falhou, entretanto, em sua tentativa a explicar a divisão por zero: sua definição pode ser facilmente provada a levar a absurdos algébricos. De acordo com Brahmagupta, "um número positivo ou negativo, quando divido por zero, é uma fração com o zero como denominador. O zero dividido por um número positivo ou negativo é tanto zero ou expressado como uma fração com zero como numerador. Zero divido por zero é zero."

Em 830, Mahavira tentou sem sucesso corrigir a falha de Brahmagupta em seu livro Ganita Sara Samgraha: "um número permanece inalterado quando dividido por zero."

Bhaskara II tentou resolver o problema ao definir $\textstyle\frac{n}{0}=\infty$. Essa definição, apesar de fazer sentido, pode levar a paradoxos se não tratadas com cuidado.

Interpretação algébrica

Não é geralmente considerado entre matemáticos que um material existente pode se transformar em outro,por exemplo um bastãozinho de borracha e um violino de quatro pernas. Nas regras padrão da aritmética de inteiros, racionais, reais e complexos, a divisão por zero é indefinida. A divisão por zero deve ser deixada indefinida em qualquer sistema matemático que obedece os axiomas de um corpo. A razão é que a divisão é definida como a operação inversa da multiplicação, o que significa que o valor de $\textstyle\frac{a}{b}$ é a solução x da equação $bx = a$ sempre que o valor existir e foi único. Senão o valor é deixado indefinido.

Para b = 0, a equação bx = a pode ser reescrita como 0x = a ou simplesmente 0 = a. Nesse caso, a equanção bx = a não possui solução se a é diferente de zero, e possui qualquer x como solução se a é igual a 0. Em qualquer caso, não há solução única, então $\textstyle\frac{a}{b}$ é indefinida.

Falácias

É possível distinguir um caso especial da divisão por zero em um argumento algébrico, levando a provas inválidas tais como 2 = 1 como a seguinte:

Assume-se:

$0\times 1 = 0$

$0\times 2 = 0$

O seguinte deve ser verdadeiro:

$0\times 1 = 0\times 2$

Dividindo por zero temos:

$\textstyle \frac{0}{0}\times 1 = \frac{0}{0}\times 2$

Simplificando, resulta-se em :

$1 = 2\,$

A falácia é assumir que dividir por zero é uma operação legítima com $0/0=1$. Apesar da maioria das pessoas provavelmente assumirem que a prova acima é falaciosa, o mesmo argumento pode ser apresentado de uma forma que torna-se mais difícil encontrar o erro. Por exemplo, se 1 é denotado por $x$, $0$ pode ser escondido em $x-x$ e $2$ escondido em $x+x$. A prova acima pode ser apresentada como:

$(x-x)x = x^2-x^2 = 0\,$

$(x-x)(x+x) = x^2-x^2 = 0\,$

Então:

$(x-x)x = (x-x)(x+x)\,$

Dividindo por $x-x\,$ temos:

$x = x+x\,$

E dividindo por $x\,$ temos:

$1 = 2\,$

Contra argumentação da prova:

Cria-se paradoxo quando se atribui várias igualdades simultâneas a uma equação.

$(x-x)x = x^2-x^2$

$(x-x)x = 0$

$x^2-x^2 = 0$

Fazendo o cálculo de forma individual não se percebe erro lógico ao afirmar que todo número que seja dividido por si resulte em 1, inclusive zero.