Anel (matemática)

Uma imagem ilustrando a adição geométrica em uma curva cúbica em um espaço projetivo. A teoria dos anéis tem muita importancia na geometria algébrica.

 Nota: Para outro significado de Anel, veja Anel.

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto, juntamente com duas operações binárias (normalmente chamado de adição e multiplicação), onde cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto juntamente com as suas duas operações devem satisfazer determinadas condições - nomeadamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição. Embora essas operações são familiares a partir de muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de número ou números inteiros, por exemplo, eles também são muito gerais, no sentido de que tomem uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença de anéis torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecida como teoria dos anéis.

Definição

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto $A$ com um elemento $0$ e duas operações binárias $+$ e $\cdot$ que satisfazem as seguintes condições:

1. Associatividade de $+$: $(\forall a,b,c\in A):(a+b)+c=a+(b+c)$
2. Existência de elemento neutro (0) de $+$: $(\forall a\in A):a+0=0+a=a$
3. Existência de simétrico de $+$: $(\forall a \in A)(\exists b\in A):a+b=0$
4. Comutatividade de $+$: $(\forall a,b\in A):a+b=b+a$
5. Associatividade de $\cdot$: $(\forall a,b,c\in A):(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$
6. Distributividade de $\cdot$ em relação a $+$ (à esquerda e à direita): $(\forall a,b,c\in A):a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c\,\wedge\,(a+b)\cdot c=a\cdot c + b\cdot c$

Alguns autores incluem ainda o axioma:

7. Existência de elemento neutro (1) de $\cdot$: $\exists 1 \in A, 1 \ne 0 \land (\forall a \in A, 1.a = a.1 = a)\,$

Em particular, temos que $(A,+)$ é um grupo abeliano. Como em qualquer grupo, o inverso para a adição de um elemento $a$ ∈ $A$, cuja existência é garantida pela terceira condição, é único e costuma ser representado por $-a$. Além disso, se $a,b$ ∈ $A$, costuma-se representar $a+(-b)$ por $a-b$.

Exemplos

• O conjunto $\mathbb{Z}$ dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto $\mathbb{Q}$ dos números racionais, o conjunto $\mathbb{R}$ dos números reais e o conjunto $\mathbb{C}$ dos números complexos.
• O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+$ ··· $+a_1x+a_0$, com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
• O menor anel é formado somente por $0$.
• Seja $(G,+)$ um grupo abeliano e seja End($G$) o conjunto dos endomorfismos de $G$. Se, dados $f,g$ ∈ End($G$), se definir a adição de $f+g$ ∈ End($G$) de $f$ com $g$ por $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, então End($G$) é um anel relativamente às operações adição e composição.

Casos particulares

• Se a multiplicação é comutativa, temos um anel comutativo.
• Se a multiplicação tem elemento neutro, temos um anel com identidade ou anel com unidade.
• Um anel de divisão é um anel $(A,+,.)$ em que $(A$ \ {$0$}$,.)$ é um grupo.
• Se a multiplicação tem elemento neutro e é idempotente, temos um anel booleano. Anéis booleanos e álgebras booleanas tem uma correspondência trivial.

Divisores de zero

Ver artigo principal: Divisor de zero

Sejam $A$ um anel e $a$ um elemento de $A$ diferente de $0$. Diz-se que $a$ é um divisor de zero se existir algum $b$ ∈ $A$ \ $\{0\}$ tal que $a.b=0$ ou que $b.a=0$.

Exemplos:

• O anel Z dos números inteiros não tem divisores de zero.
• Seja $n$ um número natural maior do que $1$ e seja Z$_n=\{0,,\ldots,n-1\}$ com a adição e o produto assim definidos: se $a,b$ ∈ Z$_n$, então $a+b$ é o resto da divisão por $n$ da soma dos números inteiros $a$ e $b$ e $a.b$ é o resto da divisão por $n$ do produto dos números inteiros $a$ e $b$. Então Z$_n$ tem divisores de zero quando e só quando $n$ for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que $a.b=n$ então, em Z$_n$, $a.b=0$.

Ideais

Ver artigo principal: Ideal (teoria dos anéis)

Sejam $A$ um anel e $I$ um subconjunto não vazio de $A$. Diz-se que $I$ é um ideal à esquerda de $A$ se

1. $I\neq A$
2. $(\forall i,j\in I):i+j\in I$
3. $(\forall a\in A)(\forall i\in I):a.i\in I$

Diz-se que $I$ é um ideal à direita de $A$ se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com

$(\forall a\in A)(\forall i\in I):i.a\in I$

Diz-se que $I$ é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso $A$ seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos:

• Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se $m$ ∈ Z\{±$1$}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de $m$ é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
• Seja $A$ o conjunto das funções $f$ de R² em R² da forma

$f(x,y)=(a.x+b.y,c.x+d.y)$,

onde $a,b,c,d$ ∈ R. Então, se $0$ for a função nula, se $+$ for a adição de funções e se $.$ for a composição, então $A$ é um anel (não comutativo). Se

$I=\{f\in A\,|\,f(1,0)=(0,0)\}$,

então $I$ é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se $A$ for um anel e $I$ for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em $A$ a relação de equivalência ∼ assim definida:

$a$ ∼ $b$ se e só se $a-b$ ∈ $I$.

Se $a$ ∈ $A$, seja $a+I$ a sua classe de equivalência; seja $A/I$ o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$,

$(A/I,+)$ é novamente um grupo abeliano. Além disso, se $I$ for um ideal à esquerda e se $a$ ∈ $A$, então faz sentido definir a função

$\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow&A/I\\b+I&\mapsto&a.b+I\end{array}$

Analogamente, se $I$ for um ideal à direita e se $a$ ∈ $A$, então faz sentido definir a função

$\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow&A/I\\b+I&\mapsto&b.a+I\end{array}$

Caso $I$ seja um ideal bilateral, $A/I$ volta a ser um anel se se definir

$(a+I).(b+I)=a.b+I$

Referências bibliográficas

• R.B.J.T. Allenby. Rings, Fields and Groups. [S.l.]: Butterworth-Heinemann, 1991. ISBN 0-340-54440-6
• Atiyah M. F., Macdonald, I. G., Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
• Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
• T.S. Blyth and E.F. Robertson. Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3. [S.l.]: Cambridge university Press, 1985. ISBN 0-521-27288-2
• Dresden, G. "Small Rings." [1]
• Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
• Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2
• Herstein, I. N., Noncommutative rings. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1994. xii+202 pp. ISBN 0-88385-015-X
• Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19–21, 1951
• Nathan Jacobson, Structure of rings. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
• Nathan Jacobson, The Theory of Rings. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, New York, 1943. vi+150 pp.
• Lam, T. Y., A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp. ISBN 0-387-95183-0
• Lam, T. Y., Exercises in classical ring theory. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003. xx+359 pp. ISBN 0-387-00500-5
• Lam, T. Y., Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, New York, 1999. xxiv+557 pp. ISBN 0-387-98428-3
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3 .
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 
• McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. ISBN 0-8218-2169-5
• Pinter-Lucke, James (2007), "Commutativity conditions for rings: 1950–2005", Expositiones Mathematicae 25 (2): 165–174, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001, ISSN 0723-0869 
• Rowen, Louis H., Ring theory. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
• Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995

Ver também

• Teoria dos anéis
• Anel topológico, que combina a estrutura do anel com um espaço topológico, de forma que várias operações sejam contínuas.
• Domínio euclidiano, um tipo de anel onde o algoritmo de Euclides pode ser utilizado.