Reticulado

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Reticulado das partições de um conjunto com 4 elementos.

Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em álgebra, um reticulado é uma estrutura L = (L, R) tal que L é parcialmente ordenado por R e para cada dois elementos a, b de L existe supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior) de {a,b}.

Reticulados como estruturas algébricas[editar | editar código-fonte]

De maneira equivalente, um reticulado pode ser definido como uma estrutura algébrica. Uma estrutura algébrica (L, \lor, \land), consistindo de um conjunto L e duas operações \lor, and \land, sobre L é um reticulado se para todos os elementos a, b, c de L valem as seguintes equações, que podem ser vistas como axiomas da teoria dos reticulados.

Leis Comutativas
a \lor b = b \lor a,
a \land b = b\land a.
    
Leis Associativas
a \lor(b \lor c) = (a \lor b)\lor c,
a \land(b \land c) = (a \land b)\land c.
    
Lei de Absorção
a \lor(a \land b) = a,
a \land (a \lor b) = a.

As identidades seguintes as vezes também são vistas como axiomas, apesar de poder ser facilmente deduzidas usando as duas leis de absorção.[1]

Leis de Idempotência
a \lor a = a,
a \land a = a.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Seja A^{\,} um conjunto não vazio e \mathcal{P} \left( A^{\,} \right) o conjunto potência ou conjunto das partes de A^{\,}. Além disso, seja \subseteq^{\,} a relação de inclusão de conjuntos. Então \left \langle \mathcal{P} \left( A \right) , \subseteq \right \rangle é um reticulado no qual o supremo está representado pela união de conjuntos e o ínfimo pela interseção.
  • Seja \left \langle A , \le \right \rangle um conjunto totalmente ordenado, isto é,  \le^{\,} é uma relação de ordem total. O supremo de dois elementos é o maior deles e o ínfimo é o menor.

Semirreticulados[editar | editar código-fonte]

  • Um semirreticulado superior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe supremo para quaisquer dois elementos a,b.
  • Um semirreticulado inferior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe ínfimo para quaisquer dois elementos a,b.

Referências

  1. a \lor a=a\lor(a\land(a\lor a))=a, and dually for the other idempotent law. Dedekind, Richard (1897), "Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler", Braunschweiger Festschrift: 1–40 .

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • BIRKHOFF, Garrett. Lattice Theory (em inglês). New York: American Mathematical Society, 1948.
  • DAVEY, B.A.; PRIESTLEY, H.A. Introduction to Lattices and Order (em inglês). 2nd. ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 978-0-521-78451-1

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