Reticulado

 Nota: Se procura outros sentidos do termo, veja Retículo (grupo).

Reticulado das partições de um conjunto com 4 elementos.

Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em álgebra, um reticulado é uma estrutura L = (L, R) tal que L é parcialmente ordenado por R e para cada dois elementos a, b de L existe supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior) de {a,b}.

Reticulados como estruturas algébricas

De maneira equivalente, um reticulado pode ser definido como uma estrutura algébrica. Uma estrutura algébrica (L, $\lor, \land$), consistindo de um conjunto L e duas operações $\lor$, and $\land$, sobre L é um reticulado se para todos os elementos a, b, c de L valem as seguintes equações, que podem ser vistas como axiomas da teoria dos reticulados.

Leis Comutativas $a \lor b = b \lor a$, $a \land b = b\land a$.

Leis Associativas $a \lor(b \lor c) = (a \lor b)\lor c$, $a \land(b \land c) = (a \land b)\land c$.

Lei de Absorção $a \lor(a \land b) = a$, $a \land (a \lor b) = a$.

As identidades seguintes as vezes também são vistas como axiomas, apesar de poder ser facilmente deduzidas usando as duas leis de absorção.

Leis de Idempotência

$a \lor a = a$,

$a \land a = a$.

Exemplos

• Seja $A^{\,}$ um conjunto não vazio e $\mathcal{P} \left( A^{\,} \right)$ o conjunto potência ou conjunto das partes de $A^{\,}$. Além disso, seja $\subseteq^{\,}$ a relação de inclusão de conjuntos. Então $\left \langle \mathcal{P} \left( A \right) , \subseteq \right \rangle$ é um reticulado no qual o supremo está representado pela união de conjuntos e o ínfimo pela interseção.

• Seja $\left \langle A , \le \right \rangle$ um conjunto totalmente ordenado, isto é, $\le^{\,}$ é uma relação de ordem total. O supremo de dois elementos é o maior deles e o ínfimo é o menor.

Semirreticulados

• Um semirreticulado superior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe supremo para quaisquer dois elementos a,b.
• Um semirreticulado inferior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe ínfimo para quaisquer dois elementos a,b.

Bibliografia

• BIRKHOFF, Garrett. Lattice Theory (em inglês). New York: American Mathematical Society, 1948.

• DAVEY, B.A.; PRIESTLEY, H.A. Introduction to Lattices and Order (em inglês). 2nd. ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 978-0-521-78451-1

• ROMAN, Steven. Lattices and Ordered Sets (em inglês). New York: Springer, 2008. ISBN 978-0-387-78900-2

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