Supremo e ínfimo

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Em matemática, definem-se os conceitos de majorante/cota superior, minorante/cota inferior, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Embora estes conceitos estejam todos relacionados, são bem diferentes.

Na análise real, estes conceitos adquirem relevância desde a própria construção dos números reais e estão intimamente ligados à idéia de limite.

Definições[editar | editar código-fonte]

Seja S\,, um subconjunto de um conjunto P\, parcialmente ordenado pela relação \leq\,.

  • Um elemento M\in P\, é dito majorante, limite superior ou cota superior de S\, se:
x\leq M,~~\forall x\in S
  • Um elemento m\in P\, é dito minorante, limite inferior ou cota inferior de S\, se:
m\leq x,~~\forall x\in S
  • Um elemento s\in P\, é dito supremo de S\, se for o menor dos majorantes:
x\leq s,~~\forall x\in S e
x\leq s',~~\forall x\in S\Rightarrow s\leq s'
  • Um elemento i\in P\, é dito ínfimo de S\, se for o maior dos minorantes:
i\leq x,~~\forall x\in S e
i'\leq x,~~\forall x\in S\Rightarrow i'\leq i
  • Um majorante M\in P\, é dito máximo de S\, se M \in S\,.
  • Um minorante m\in P\, é dito mínimo de S\, se m \in S\,.
  • Se um conjunto tem majorante, diz-se que está limitado superiormente.
  • Se um conjunto tem minorante, diz-se que está limitado inferiormente.

Notação[editar | editar código-fonte]

  • Se um conjunto S\, possui máximo, ele é denotado:
\max S = \max_{x\in S}x
  • Se um conjunto S\, possui mínimo, ele é denotado:
\min S = \min_{x\in S}x
  • Se um conjunto S\, possui supremo, ele é denotado:
\sup S = \sup_{x\in S}x
  • Se um conjunto S\, possui ínfimo, ele é denotado:
\inf S = \inf_{x\in S}x

Se f:S\to P\, é uma função de um conjunto S\, em um conjunto parcialmente ordenado P\,, então usa-se a notação:

\sup f(S) = \inf_{x\in S}f(x) e suas análogas.

Completude[editar | editar código-fonte]

Seja (A, ≤) um conjunto parcialmente ordenado. A é dito completo se para todo conjunto BA, B≠∅, se B tem majorante, então tem supremo.

Este conceito não deve ser confundido com a completude lógica nem com a completude de uma teoria axiomática, pois são conceitos diferentes.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O intervalo fechado  \left[ 0, 1 \right] = \left\{ x \in \mathbb{R}: \; 0 \le x \le 1 \right\} \, possui um elemento mínimo  0 e máximo  1 .
  • O intervalo semi fechado  \left[ 0, 1 \right) =  \left[ 0, 1 \right[ = \left\{ x \in \mathbb{R}: \; 0 \le x < 1 \right\}\, possui um elemento mínimo  0, todo  x \ge 1, x \in \mathbb{R}, é majorante do conjunto e seu supremo nos reais é o  1 que não pertence ao conjunto e, portanto, esse conjunto não tem máximo.
  • \left\{x\in\mathbb{Q}:x^2 \leq 2\right\}
Esse conjunto possui um supremo real, \sqrt{2}\, e infinitas cotas superiores racionais. No entanto, não possui supremo nos números racionais. Portanto, o conjunto dos números racionais não é completo. Por outro lado, o conjunto dos números reais é completo.
Esse conjunto tem mínimo  \varnothing e máximo  A , segundo a ordem  \subseteq .
Todo  B \subseteq \mathcal{P}\!\left( A \right), B \ne \varnothing tem supremo e ínfimo em  \mathcal{P}\!\left( A \right), segundo a ordem  \subseteq .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • \inf S \leq \sup S\,, contanto que ambos existam.
  • A\subseteq B \Longrightarrow \sup A \leq  \sup B\,, contanto que ambos existam.
  • A\subseteq B \Longrightarrow \inf B \leq  \inf A\,, contanto que ambos existam.

As duas últimas propriedades são chamadas de monotonicidade.

No conjunto de números reais[editar | editar código-fonte]

  • Todo conjunto não-vazio de números reais limitado superiormente possui um supremo.
  • Todo conjunto não-vazio de números reais limitado inferiormente possui um ínfimo.

Considerando os reais estendidos, \mathbb{R}_e=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}, podemos considerar:

  • O supremo de um conjunto não limitado superiormente é definido como +\infty\,.
  • O ínfimo de um conjunto não limitado inferiormente é definido como -\infty\,.
  • Na notação de supremo, temos que uma função f:D\to\mathbb{R}\, é limitada se e somente se:
\exists\sup_{x\in D}|f(x)|, ou, considerando os reais estendidos, \sup_{x\in D}|f(x)| < \infty

Supremo e ínfimo do conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

Ainda considerando os números reais estendidos, por completeza e a fim de manter a monotonicidade, definem-se o supremo e o ínfimo do conjunto vazio (quando este é visto como um subconjunto dos reais):

  • \sup \emptyset=-\infty\,
  • \inf \emptyset=\infty \,
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