Supremo e ínfimo

Em matemática, definem-se os conceitos de majorante/cota superior, minorante/cota inferior, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Embora estes conceitos estejam todos relacionados, são bem diferentes.

Na análise real, estes conceitos adquirem relevância desde a própria construção dos números reais e estão intimamente ligados à idéia de limite.

Definições

Seja $S\,$, um subconjunto de um conjunto $P\,$ parcialmente ordenado pela relação $\leq\,$.

• Um elemento $M\in P\,$ é dito majorante, limite superior ou cota superior de $S\,$ se:

$x\leq M,~~\forall x\in S$

• Um elemento $m\in P\,$ é dito minorante, limite inferior ou cota inferior de $S\,$ se:

$m\leq x,~~\forall x\in S$

• Um elemento $s\in P\,$ é dito supremo de $S\,$ se for o menor dos majorantes:

$x\leq s,~~\forall x\in S$ e

$x\leq s',~~\forall x\in S\Rightarrow s\leq s'$

• Um elemento $i\in P\,$ é dito ínfimo de $S\,$ se for o maior dos minorantes:

$i\leq x,~~\forall x\in S$ e

$i'\leq x,~~\forall x\in S\Rightarrow i'\leq i$

• Um majorante $M\in P\,$ é dito máximo de $S\,$ se $M \in S\,$.
• Um minorante $m\in P\,$ é dito mínimo de $S\,$ se $m \in S\,$.
• Se um conjunto tem majorante, diz-se que está limitado superiormente.
• Se um conjunto tem minorante, diz-se que está limitado inferiormente.

Notação

• Se um conjunto $S\,$ possui máximo, ele é denotado:

$\max S = \max_{x\in S}x$

• Se um conjunto $S\,$ possui mínimo, ele é denotado:

$\min S = \min_{x\in S}x$

• Se um conjunto $S\,$ possui supremo, ele é denotado:

$\sup S = \sup_{x\in S}x$

• Se um conjunto $S\,$ possui ínfimo, ele é denotado:

$\inf S = \inf_{x\in S}x$

Se $f:S\to P\,$ é uma função de um conjunto $S\,$ em um conjunto parcialmente ordenado $P\,$, então usa-se a notação:

$\sup f(S) = \inf_{x\in S}(x)$ e suas análogas.

Completude

Seja (A, ≤) um conjunto parcialmente ordenado. A é dito completo se para todo conjunto B⊆A, B≠∅, se B tem majorante, então tem supremo.

Este conceito não deve ser confundido com a completude lógica nem com a completude de uma teoria axiomática, pois são conceitos diferentes.

Exemplos

• $[0,1]\,$ possui um elemento mínimo 0 e máximo 1.
• $[0,1)\,$ possui um elemento mínimo 0, todo x, x≥1, é majorante do conjunto e seu supremo nos reais é o 1 que não pertence ao conjunto e, portanto, esse conjunto não tem máximo.
• $\left\{x\in\mathbb{Q}:x^2 \leq 2\right\}$

Este conjunto possui um supremo real, $\sqrt{2}\,$ e infinitas cotas superiores racionais. No entanto, não possui supremo nos números racionais. Portanto, o conjunto dos números racionais não é completo. Por outro lado, o conjunto dos números reais é completo.

Propriedades

• $\inf S \leq \sup S\,$, contanto que ambos existam.
• $A\subseteq B \Longrightarrow \sup A \leq \sup B\,$, contanto que ambos existam.
• $A\subseteq B \Longrightarrow \inf B \leq \inf A\,$, contanto que ambos existam.

As duas últimas propriedades são chamadas de monotonicidade.

No conjunto de números reais

• Todo conjunto não-vazio de números reais limitado superiormente possui um supremo.
• Todo conjunto não-vazio de números reais limitado inferiormente possui um ínfimo.

Considerando os reais estendidos, $\mathbb{R}_e=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$, podemos considerar:

• O supremo de um conjunto não limitado superiormente é definido como $+\infty\,$.
• O ínfimo de um conjunto não limitado inferiormente é definido como $-\infty\,$.
• Na notação de supremo, temos que uma função $f:D\to\mathbb{R}\,$ é limitada se e somente se:

$\exists\sup_{x\in D}|f(x)|$, ou, considerando os reais estendidos, $\sup_{x\in D}|f(x)| < \infty$

Supremo e ínfimo do conjunto vazio

Ainda considerando os números reais estendidos, por completeza e a fim de manter a monotonicidade, definem-se o supremo e o ínfimo do conjunto vazio (quando este é visto como um subconjunto dos reais):

• $\sup \emptyset=-\infty\,$
• $\inf \emptyset=\infty \,$