Se e somente se

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Se e somente se, ou se e só se (abreviadamente, sse[1] ), em matemática, lógica e filosofia, é uma forma de expressão para um teorema: Se A então B, e se B então A; ou A se e somente se B. O correspondente símbolo lógico é \Leftrightarrow.

Considerações[editar | editar código-fonte]

Seja a afirmação:

  • Se um inteiro x é par, então x + 1 é ímpar, e se x + 1 é impar, então x é par.

Existem maneiras concisas de expressar afirmações da forma A implica B e B implica A, nas quais não é necessário descrever as condições de A e B duas vezes cada uma. A expressão-chave para tais formas é se e somente se.

  • \Rightarrow Um inteiro x é par se e somente se x + 1 é ímpar.

Sobre as condições de A e B, elas podem ser, cada uma delas, verdadeira ou falsa, havendo assim, quatro possibilidades. Se a afirmação A se e somente se B é verdadeira, temos:

Condição A Condição B
Verdadeira Verdadeira Possível
Verdadeira Falsa Impossível
Falsa Verdadeira Impossível
Falsa Falsa Possível

É impossível a condição A ser verdadeira quando B é falsa, porque A \Rightarrow B. da mesma forma, é impossível a condição B ser verdadeira quando A é falsa, porque B \Rightarrow A. Assim as duas condições A e B devem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas. No exemplo acima a condição A é x é par e a condição B é x + 1 é ímpar. Para alguns inteiros (por exemplo, x = 6) A e B são ambas verdadeiras (6 é par e 7 é impar), mas para outros inteiros (x = 9), ambas as condições são falsas (9 não é par e 10 não é ímpar).

Alternativas[editar | editar código-fonte]

  • A se e somente se B (abreviada);
  • A é necessário e suficiente para B;
  • A é equivalente a B (a condição A é válida exatamente nas mesma circunstâncias em que a condição B é);
  • A \Leftrightarrow B .

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Haight (1999), p. 175-176

Referências[editar | editar código-fonte]

  • SCHEINERMAN, Edward R. (2003). Matemática discreta: uma introdução. São Paulo. Poneira Thomson Learning. ISBN 8522102910.
  • Haight, Mary Rowland. The Snake and the Fox: An Introduction to Logic. [S.l.]: Routledge, 1999. ISBN 9780415166935.

Ver também[editar | editar código-fonte]