Números pares e ímpares

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Um número inteiro qualquer é dito par se, ao ser dividido pelo número dois, resulta em um número inteiro, caso contrário esse número é dito ímpar.

Propriedades dos números pares e ímpares[editar | editar código-fonte]

Sejam P o conjunto dos números pares e I o conjunto dos números ímpares. Tendo como conjunto universo o conjunto dos números inteiros, temos as seguintes propriedades:

Seja p um número par qualquer e i um número ímpar qualquer, têm-se as seguintes propriedades sobre operações aritméticas:

  • A soma ou subtração de dois números pares resulta em um número par:
p \pm p' = 2n \pm 2n' = 2 ( n \pm n' ) = p''\,\!
  • A soma ou subtração de dois números ímpares resulta em um número par:
i \pm i' = ( 2n-1 ) \pm ( 2n'-1 ) = 2n \pm 2n' + c = 2 (n \pm n' + c) = p\,\!
  • A soma ou subtração de um número par com um número ímpar resulta em um número ímpar:
p \pm i = p \pm ( p' - 1 ) = (p \pm p') \pm 1 = i'\,\!
  • A multiplicação de um número par por um número par resulta em um número par:
p \times p' = (2n)(2n') = 2 (2nn') = p''\,\!
  • A multiplicação de um número ímpar por um número ímpar resulta em um número ímpar:
i \times i' = (2n-1)(2n'-1) = 2n2n' - 2n - 2n' + 1 = 2(2nn') - 2n - 2n' + 1 = p - p' - p'' + 1 = p''' + 1 = i''\,\!
  • A multiplicação de um número par por um número ímpar resulta em um número par:
p \times i = (2n)(2n'-1) = 2n2n' - 2n = 2(2nn'-n) = p'\,\!
p\,\div\,p' = 2^{a} n\,\div\,2^{a'} n' = 2^{a-a'} \left( n\,\div\,n' \right) = p''\mbox{ se, e somente se, }0 < a' < a\mbox{ e }p' \neq 0\,\!

Métodos de inferência[editar | editar código-fonte]

Existem diversos métodos para determinar se um número dado é par ou ímpar. O mais fácil deles e, consequentemente, o mais utilizado é baseado na observação do último digito do número que esteja avaliando: caso o último dígito do número seja divisível por dois, isto é, se o resto da divisão do mesmo por dois for igual a zero então o número é par, caso contrário, é ímpar.

Exemplos:

6 \Rightarrow 6 \div 2 = 3 ,\mbox{resto} = 0 \Rightarrow 6 \mbox{ é par}
282 \Rightarrow 2 \div 2 = 1 ,\mbox{resto} = 0 \Rightarrow 282 \mbox{ é par}
4.875.979.749 \Rightarrow 9 \div 2 = 4 ,\mbox{resto} = 1 \neq 0 \Rightarrow 4.875.979.749 \mbox{ é ímpar}

Em outras palavras, neste método o último dígito é avaliado como um número isolado e considera-se que o número que originou o dígito mantém a mesma característica. Esse método é válido devido ao fato de utilizarmos por padrão o sistema de base 10 para representar os números. Como 10 é um número par, cada casa do número nesta base é formada por combinações de pares de números de mesma grandeza:

\mbox{Base }10 \rightarrow (0,1),(2,3),(4,5),(6,7),(8,9)

Embora este método de avaliação seja válido nos sistemas numéricos mais comuns (como o Octal, base 8; e o Hexadecimal, base 16), este método não é válido em um sistema numérico com base ímpar. No sistema de base 7, por exemplo, 2(7) é par, mas 12(7) é ímpar. Isso acontece porque cada casa do número nesta base contém um número sem par da mesma grandeza, obrigando-o a fazer par com o número da casa seguinte:

\mbox{Base }7 \rightarrow (0,1),(2,3),(4,5),(6{\color{Red},10})

Paridade do número zero[editar | editar código-fonte]

Balança vazia
Zero objetos divididos em dois grupos iguais

O zero é um número par.[1] Esta afirmação é feita devido as seguintes razões:

  • ele é um número inteiro múltiplo de dois, isto é, ele pode ser escrito na forma 2x;
  • o zero é divisível por 2;
  • o zero é cercado por número ímpares;
  • o zero é o resultado da soma de algum número inteiro com o seu simétrico;
  • zero elementos podem ser divididos em dois grupos com um número igual de elementos;
  • o zero, interpretado como número par, é compatível com todas as regras das somas/subtrações e produtos de números pares e ímpares.

Ou seja, o zero compartilha todas as propriedades comuns a todos os números pares, portanto, conclui-se que ele é par. Popularmente, existe uma definição que determina o zero como sendo um número "nem par nem ímpar". Esta afirmação geralmente vem acompanhada pela justificativa que o zero seria um "número neutro" e que a propriedade não se aplicaria ao mesmo. Esta afirmação é falsa devido ao fato do conceito de elemento neutro estar associada a uma operação e não a um conjunto numérico. De fato, o zero é o elemento neutro das operações de adição e subtração, mas não é, por exemplo, das operações de multiplicação e divisão.

Referências

  1. Penner, Robert C.. Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures (em ). Singapore: World Scientific, 1999. Capítulo 1. p. 34. ISBN 981-02-4088-0.
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