Fechamento

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Em matemática, um conjunto é fechado em relação a uma dada operação quando o resultado dessa operação em elementos desse conjunto é ainda um elemento desse conjunto. Por exemplo, os números reais são fechados na subtração, mas os números naturais não são: 3 e 7 são ambos números naturais, mas o resultado de 3-7 não pertence ao conjunto dos naturais.

Similarmente, um conjunto é dito fechado sob uma coleção de operações se é, individualmente, fechado em cada uma das operações.

Um conjunto que é fechado sob uma operação ou coleção de operações é dito satisfazer uma propriedade do fechamento. Frequentemente uma propriedade do fechamento é introduzida como um axioma, geralmente denominado axioma do fechamento. Note que as definições da Teoria Moderna dos Conjuntos normalmente define operações como mapeamentos entre conjuntos. Logo, adicionar o fechamento a uma estrutura como um axioma é supérfluo, apesar de ainda fazer sentido perguntar se os subconjuntos são fechados. Por exemplo, o conjunto dos números reais é fechado sob a subtração, entretanto (como mencionado acima) seu sub-conjunto dos números naturais não é.

Quando um conjunto S não é fechado sob algumas operações, pode-se encontrar o menor conjunto contendo S que é fechado. Este menor conjunto fechado (com respeito às operações)) é chamado de o fechamento de S. Por exemplo, o fechamento sob a subtração do conjunto dos números naturais, visto como um sub-conjunto dos números reais, é o conjunto dos números inteiros. Um exemplo importante é fechamento topológico. A noção de fechamento é generalizado pelas Conexões de Galois, e também pelas Mónades.

Note que o conjunto S deve ser um subconjunto do fechamento para que operador de fechamento seja definido. No exemplo anterior, é importante que os números reais sejam fechados sob a subtração: no domínio dos números naturais a subtração não é definida sempre.

Os dois usos da palavra "fechamento" não devem ser confundidos. A primeira utilização refere-se à propriedade de ser fechado; já a segunda refere-se ao menor conjunto fechado que contém um conjunto que não é fechado. Resumindo: o fechamento de um conjunto satisfaz a propriedade do fechamento.

Aplicações práticas de técnicas de fechamento[editar | editar código-fonte]

Apostas de Loterias[editar | editar código-fonte]

Umas das aplicações práticas mais populares do Fechamento é em apostas de loterias. Neste contexto o fechamento consiste em agrupar alguns números, para garantir que um prêmio mínimo seja ganho se forem respeitadas determinadas condições. É basicamente uma maneira barata de jogar com vários números e com a garantia de haverá algum retorno financeiro se a condição estabelecida for cumprida.

Para entender melhor, se expõem abaixo todos os parâmetros que precisam ser levados em consideração nessa matriz, para o cálculo de, por exemplo, o número mínimo de bilhetes que você precisa para que o seu fechamento seja garantido:

V = quantidade de números que será utilizada no fechamento, ou seja, quantas dezenas estarão presentes na aposta

K = quantas dezenas serão marcados em cada bilhete

T= é o prêmio mínimo (por exemplo, no caso da Mega-Sena, uma Quadra, Quina ou Sena) que você deseja garantir

M = é a condição necessária para garantir que parâmetro T seja cumprido

B = quantidade de bilhetes necessários para que este fechamento funcione

V-K-T-M= B

Exemplo:

Quero jogar com 10 dezenas, marcando 6 números em cada bilhete, e quero fazer pelo menos uma quadra se, destas minhas 10 dezenas, 5 estão entre as 6 dezenas sorteadas no próximo sorteio da Mega-Sena.

V = 10: a quantidade de números que vai usar. Por exemplo, eu quero jogar com as seguintes dezenas:

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08 e 09 (10 dezenas no total)

K = 6: em cada bilhete será marcada uma combinação de seis dezenas.

T= 4 (quadra): quero garantir que acertarei pelo menos 1 quadra neste fechamento...

M = ... se, de meus 10 números, 5 saírem na próximo sorteio da Mega Sena.

Toda esta informação é, então, aplicada a uma matriz que calcula quantos bilhetes de aposta serão necessários para garantir que pelo menos uma quadra será paga com este fechamento. “B” então, seria a quantidade de bilhetes. No exemplo anterior, após realizar todo o cálculo matemático o nosso resultado será 7 bilhetes.

10 - 6 - 4 - 5 = 7

Nossa aposta, utilizando as dezenas que escolhemos anteriormente e seguindo os parâmetros acima, ficaria assim:

01 02 03 04 06 09

01 02 04 06 09 10

01 03 04 06 09 10

01 04 05 06 07 09

01 04 05 06 08 09

01 04 06 07 08 09

02 03 05 07 08 10

Ou seja, estas são as combinações de números que serão marcados em cada bilhete.

Assim, se 5 dezenas, das 10 que escolhemos são sorteadas conseguiremos pelo menos 1 quadra com essa aposta, ou seja, pelo menos um bilhete em que 4 números foram escolhidos no sorteio.

O investimento total para essa aposta teria sido de R$ 17,50 (R$ 2,50 x 7) e que haverá algum retorno financeiro (pagamento da quadra) se quaisquer 5 dezenas das 10 escolhidas forem sorteadas. Utilizar a técnica do fechamento neste contetxo faz muito sentido, já que, se houvesse feito uma aposta regular com 10 dezenas em um bilhete, a aposta nos teria custado R$ 525,00, no caso da Mega-Sena.[1]


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  1. Como Ganhar na Mega-Sena Mega-sena.org. Visitado em 22 de Agosto de 2014.