Lógica matemática

Não existe uma definição exata para lógica, mas alguns matemáticos a definem como “o estudo dos processos válidos que atingem a verdade”, ou simplesmente “a ciência das leis do pensamento”.

História

Os estudos sobre o raciocínio foram inicialmente desenvolvidos por filósofos como Parménides e Platão, mas foi Aristóteles quem o elaborou mais detalhadamente e definiu a lógica como se estuda hoje em dia (como se estudava até o século XIX).

Para mostrar que os sofistas (mestres da retórica e da oratória) podiam enganar os cidadãos utilizando argumentos incorretos, Aristóteles estudou a estrutura lógica da argumentação. Revelando, assim, que alguns argumentos podem ser convincentes, embora não sejam corretos. A lógica, segundo Aristóteles, é um instrumento para atingir o conhecimento científico, baseando-se no silogismo.

Seguidores de Aristóteles reuniram seus princípios sobre lógica em um livro intitulado “Organun”, que significa “Instrumento da Ciência”.

Lógica Proposicional

Proposições

As proposições são determinadas por sentenças declarativas pertencentes a um certa linguagem que formam um conjunto de palavras ou símbolos e expressam uma ideia. As sentenças declarativas, são afirmações que podem receber valores lógicos, Verdadeiro ou Falso apenas, e que um conjunto de palavras resultam em um pensamento completo. As proposições devem seguir os seguintes princípios:

1. Princípio da identidade: garante que uma proposição é igual a si mesma.
2. Princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa.
3. Princípio do terceiro excluído: uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.

Exemplos:

O cachorro é um animal. - Verdadeiro

2 + 2 = 7 - Falso

Sentenças interrogativas, exclamativas e imperativas não são proposições, pois não é possível dizer se são verdadeiras ou falsas.

Exemplos:

• Hoje está chovendo muito!
• Como foi a aula?
• Limpe a cozinha.
• Esta sentença não é verdadeira.

Proposições compostas

Proposição composta é a união de proposições simples por meio de um conector lógico. Este conector irá ser decisivo para o valor lógico da expressão.

Precedência de operadores

Em expressões que utilizam vários operadores não é possível saber qual proposição deve-se resolver primeiro.

Exemplo: P Λ Q V R.

Com isso, usar parênteses é fundamental. A expressão do exemplo poderia ficar assim: (P Λ Q) V R ou P Λ (Q V R).

A ordem da precedência de operadores é:

1. (),, {}
2. ¬
3. V, Λ, V
4. →
5. ↔

Tabela Verdade

A tabela verdade é construída para determinar o valor lógico de uma proposição composta. Segue uma excelente estratégia para a construção da mesma.

Exemplo de construção da tabela verdade da proposição composta: p Λ q

Primeiramente verifica-se quantas “variáveis”, ou proposições simples que temos na proposição composta do exercício. Neste caso existem duas: p e q.

Em seguida elevamos 2 ao número de variáveis, ou seja, 2². Nossa base do expoente é 2 pelo fato de possuir-se apenas 2 valores lógicos possíveis nas proposições (Verdadeiro ou Falso). O resultado de 2² é 4. Então nossa tabela terá 4 linhas, nessas linhas estarão todos os valores lógicos possíveis da nossa proposição composta.

p	q	p Λ q
-	-	-
-	-	-
-	-	-
-	-	-

Esta é a estrutura da tabela, agora para a preencher com os devidos valores lógicos utiliza-se a seguinte técnica: até a metade da primeira coluna coloca-se Verdadeiro, na outra metade Falso. Já na segunda coluna, intercala-se V e F. Desta forma adquira-se a seguinte tabela:

p	q	p Λ q
V	V	Resultado
V	F	Resultado
F	V	Resultado
F	F	Resultado

Esta é uma das melhores estratégias para a montagem de uma tabela verdade.

Conectivos lógicos

Proposições podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lógicos. Conectores que criam novas sentenças mudando ou não seu valor lógico (Verdadeiro ou Falso). Exemplos dos principais conectores lógicos:

• “¬” ou “~” (negação);
• “Λ” (conectivo “e”);
• “V” (conectivo “ou”);
• “→” (conectivo “se, então”);
• “↔” (conectivo “se, e somente se”);
• “V” (conectivo “ou exclusivo”);
• “↓” (conectivo “negação conjunta”);
• “↑” (conectivo “negação disjunta”).

Exemplos de sentenças formadas com conectores e proposições:

(2 + 2 = 4) V (1 < 4) - Valor lógico da sentença: Verdadeiro V (ou) Verdadeiro = Verdadeiro

Cachorro é um felino Λ (1 > 0) - Valor lógico da sentença: Falso Λ (e) Verdadeiro = Falso

Conector de Negação (~)

O conectivo de negação (~), nega o valor lógico de uma proposição. Considera-se p como uma proposição de valor lógico igual a verdadeiro, então sua negação é igual a falso. O mesmo seria se a proposição tivesse valor lógico inicial igual a falso, sua negação seria igual a verdadeiro. De acordo com esses conceitos podemos montar a seguinte tabela verdade:

p	~p
V	F
F	V

Exemplo:

Considere p com o valor da seguinte proposição: 2 é um número par. p = Verdadeiro, portanto sua negação: ~p = Falso.

Conector e (Λ)

O conectivo e, também conhecido como AND e representado pelo símbolo “^” junta proposições as quais somente resultarão em Verdadeiro se todos os valores forem Verdadeiros.

Exemplo: Considere as proposições p e q (Conjunção).

p	q	p Λ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Observação: Veja que nesta tabela consideramos todos os valores lógicos possíveis para p e q, em outras palavras: temos 2 proposições e estamos em uma base binária (0 ou 1, verdadeiro ou falso) então para se saber o número das possibilidades para essas proposições realiza-se o seguinte cálculo 2ⁿ, onde n é o número de proposições.

Conector ou (V)

O conectivo ou, também conhecido como OR e representado pelo símbolo “V” une proposições que, apenas uma sendo Verdadeiro é suficiente que a expressão inteira também seja.

Exemplo:

Considere as proposições p e q (Disjunção).

p	q	p V q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Conector condicional (→)

O conectivo condicional, também conhecido como implica e representado pelo símbolo “→” une proposições criando uma estrutura condicional onde apenas uma das possibilidades resulta em F o valor lógico da expressão.

Exemplo:

Considere as proposições p e q (Condição). “Se p então q”

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Conector bi-condicional (↔)

O conectivo bi-condicional, é lido como “se, e somente se” e é representado pelo símbolo “↔”, ele une proposições onde o resultado lógico da expressão é verdadeiro apenas se os valores lógicos forem iguais.

Exemplo:

Considere as proposições p e q (Bi-condicional). “Se p, e somente se q”

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Ou exclusivo (V)

O conectivo ou exclusivo, chamado também de disjunção exclusiva, é representado pelo símbolo “V”. Podemos dizer que ele significa: um ou outro, mas não ambos. Exemplo: Ou o gato é macho ou o gato é fêmea, mas não ambos. A tabela verdade do ou exclusivo esta representada abaixo.

p	q	p V q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Negação Conjunta e Negação Disjunta

A negação conjunta é representada pelo conector ↑, significa a negação de duas proposições envolvendo o conector AND (NAND).

Exemplo: p Λ q ⇔ ¬p ↑ ¬q.

A negação disjunta é representada pelo conector ↓, significa a negação de duas proposições envolvendo o conector OR (NOR).

Exemplo: p v q ⇔ ¬p ↓ ¬q.

Abaixo estão representadas as tabelas verdades das duas negações.

• Tabela Verdade equivalente ao circuito NAND

p	q	p ↑ q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	V

• Tabela Verdade equivalente ao circuito NOR

p	q	p ↓ q
V	V	F
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Tautologia, Contradição e Contingência

Ao montarmos uma tabela verdade contendo todos os valores lógicos possíveis de uma expressão a poderíamos classificar em tautologia, contradição e contingência.

• Tautologia: é uma proposição cujo resultado final é sempre verdadeiro.

Exemplo:

p v ~p (p OU não p)

p	~p	p V ~p
V	F	V
F	V	V

Veja que independente do valor de p a expressão sempre resulta em Verdadeiro, pois para o conector OU possuir um verdadeiro já é suficiente para resultar em Verdadeiro, além disso sempre teremos V em todas as combinações da expressão. Por isso a classificamos como uma tautogia.

Vejamos outro exemplo:

F → p (F então p)

Valor lógico constante	p	F → p
F	F	V
F	V	V

Nestre outro caso também se obteve uma tautologia, devido ao fato da última coluna da tabela (resultado da expressão) ter somente Verdadeiro.

• Contradição: é uma proposição que resulta somente em falso, em outras palavras, a última coluna da sua tabela só possui o valor lógico falso.

Exemplo:

p ^ ~p

p	~p	p ^ ~p
V	F	F
F	V	F

• Contingência: determinamos uma proposição de contingente quando ela não é tautológica nem contraditória, ou seja, ela é indeterminada.

Exemplo:

p V q (p OU q)

p	q	p V q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Percebe-se que a última coluna não possui apenas um valor lógico, por isso a determinamos uma proposição contingente, ou indeterminada.

Implicação lógica ou Inferência

Sejam P e Q duas proposições. Diremos que P implica logicamente a proposição Q, se Q for verdadeiro sempre que P for verdadeiro. Quando isso ocorre, dizemos que temos uma implicação lógica ou inferência e denotamos: P => Q (lemos: “P implica Q”).

Exemplo: P Λ Q implica P V Q?

p	q	p Λ q	p V q
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	F

Neste exemplo podemos dizer que P Λ Q => P V Q, pois onde P Λ Q é verdadeiro P V Q também é.

Exemplo: P V Q implica P → Q?

p	q	p V q	p → q
V	V	V	V
V	F	V	F
F	V	V	V
F	F	F	V

Neste exemplo não podemos dizer que P V Q => P → Q, pois temos na segunda linha que onde P V Q é verdadeiro P → Q é falso.

Equivalência lógica

Diremos que P é equivalente a Q, se as duas tabelas verdade foram idênticas. Quando isso ocorre, dizemos que temos uma equivalência lógica ou bi-implicação e denotamos P ⇔ Q (lemos: “P é equivalente a Q”).

Exemplo: ¬(P Λ Q) é equivalente a (¬P V ¬Q)?

P	Q	¬P	¬Q	P Λ Q	¬(P Λ Q)	¬P V ¬Q
V	V	F	F	V	F	F
V	F	F	V	F	V	V
F	V	V	F	F	V	V
F	F	V	V	F	V	V

Neste exemplo podemos dizermos que ¬(P Λ Q) ⇔ (¬P V ¬Q), pois o resultado da tabela verdade das duas expressões é o mesmo.

Exemplo: P → Q é equivalente a Q → P?

P	Q	P → Q	Q → P
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	V	F
F	F	V	V

Neste exemplo não podemos dizer que P → Q ⇔ Q → P, pois o resultado das tabelas verdades das expressões são diferentes, nas linhas 2 e 3.

Condições necessárias e suficientes

Temos uma condição suficiente se quando ela ocorrer temos a garantia de que a outra condição ocorrerá. Por exemplo:

“Se o cavalo corre então ele está vivo.”

O cavalo correr é condição suficiente para ele estar vivo,ou seja, se o cavalo corre podemos garantir que ele está vivo.

Por outro lado o cavalo estar vivo não garante que o cavalo corra, pois ele pode estar por exemplo vivo mas descansando, a este tipo de condição dá se o nome de condição necessária. Uma condição é necessária quanto não podemos garantir que a outra condição é valida.

Esta relação entre condição suficiente e condição necessária é encontrada quando utilizamos um conector condicional, ou seja, quando temos uma estrutura condicional. O primeiro argumento(que vem antes do →), chamado de antecedente é uma condição suficiente. O segundo argumento,chamado de consequente é uma condição necessária.

Entretanto em uma estrutura bi-condicional temos uma proposição necessária e suficiente.

Proposições Associadas a uma Condicional

Pegamos uma condicional qualquer como p → q, existem três tipos de proposições associadas a ela que são:

• Recíproca: a proposição recíproca de p → q é a proposição q → p.Como podemos ver foi feito uma troca entre a antecedente (p) e a consequente (q) para obter-se a recíproca cuja tabela esta abaixo:

p	q	p → q	q → p
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	V	F
F	F	V	V

Exemplo: “Se a Maria é feia então todos são feios.”

A recíproca seria: “Se todos são feios então Maria é feia.”

• Contrária: a proposição contrária de p → q é a proposição ~p → ~q.Basta negar a antecedente(p) e a consequente(q) para obtermos a proposição contrária.

p	q	~p	~q	p → q	~p → ~q
V	V	F	F	V	V
V	F	F	V	F	V
F	V	V	F	V	F
F	F	V	V	V	V

Exemplo: “Se a Maria é feia então todos são feios.”

A contrária seria: “Se Maria não é feia então todos não são feios.”

• Contra Positiva: a contra positiva da preposição p → q é ~q → ~p. Para encontramos a contra positiva basta juntar os passos da recíproca e da contrária,ou seja, deve se inverter os lugares do antecedente e do consequente e negar ambos. A proposição contra positiva tem o mesmo resultado que a proposição original.

p	q	~p	~q	p → q	~q → ~p
V	V	F	F	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V
F	F	V	V	V	V

Exemplo: “Se a Maria é feia então todos são feios.”

A contra positiva seria: “Se todos não são feios então Maria não é feia.”

Referências

Carlos Fontes. Definição e Evolução da Lógica; 28/04/2012.

Disponível em: http://afilosofia.no.sapo.pt/pag2Def.htm

Grupo iPED. Noções de lógica.Colégio web; 07/05/2012.

Disponível em: http://www.colegioweb.com.br/matematica/conectivos-logicos-.html

GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO Valdeni Soliane. Fundamentos de matemática: uma introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2º Edição 2008.

Ver também

• Filosofia da matemática
• Fundamentos da matemática
• Principia Mathematica