Álgebra

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Em matemática, álgebra é o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinómios e estruturas algébricas.[1] A álgebra é um dos principais ramos da matemática pura, juntamente com a geometria, topologia, análise combinatória, e Teoria dos números.

O termo álgebra, na verdade, compreende um espectro de diferentes ramos da matemática, cada um com suas especificidades.

A álgebra elementar, que frequentemente faz parte do currículo no ensino secundário, introduz o conceito de variável representativa de números. Expressões usando estas variáveis são manipuladas usando as regras de operação aplicáveis a números, como a adição. Estes conceitos podem ser usados, por exemplo, na Resolução de equações. Por sua vez, A adição e a multiplicação podem ser generalizadas e as suas definições exactas conduzem a estruturas tais como os grupos, anéis e corpos, que são estudados na área da matemática intitulada álgebra abstrata.

Classificação[editar | editar código-fonte]

De uma forma geral pode-se organizar a álgebra como:

História[editar | editar código-fonte]

As origens da álgebra se encontram na antiga Babilônia[2] , cujos matemáticos desenvolveram um sistema aritmético avançado, com o qual puderam fazer cálculos algébricos. Com esse sistema eles foram capazes de aplicar fórmulas e calcular soluções para incógnitas numa classe de problemas que, hoje, seriam resolvidos como equações lineares, equações quadráticas e equações indeterminadas.

Por outro lado, a maioria dos matemáticos egípcios desta era e a maioria dos matemáticos indianos, gregos e chineses do primeiro milénio a.C. normalmente resolviam estas equações por métodos geométricos, como descrito no Papiro Rhind, Sulba Sutras, Elementos de Euclides e Os Nove Capítulos da Arte Matemática. Os estudos geométricos dos gregos, consolidado nos Elementos, deram a base para a generalização de fórmulas, indo além da solução de problemas particulares para sistemas gerais para especificar e resolver equações.

O nome "álgebra" surgiu de um tratado escrito por Mohammed ben Musa, um matemático nascido por volta de 900 d.C. Seu trabalho intitulado Al-gjabr Wa'l-mocábala,[3] ou O livro sumário sobre cálculos por transposição e redução é um trabalho extremamente didático e com o objetivo de ensinar soluções para os problemas matemáticos cotidianos de então. A palavra Al-jabr da qual álgebra foi derivada significa "reunião", "conexão" ou "complementação". A palavra Al-jabr significa, ao pé da letra, a reunião de partes quebradas. Foi traduzida para o latim quase quatro séculos depois, com o título Ludus Algebrae et Almucgrabalaeque.

Na data de 1140, Robert de Chester traduziu o título árabe para o latim, como Liber Algebrae et almucabala. No século XVI, é encontrado em inglês como Algiebar and Almachabel, e em várias outras formas, mas foi finalmente encurtado para Álgebra. As palavras significam "restauração e oposição".

No Kholâsat Al-Hisâb ("Essência da Aritmética"), Behâ Eddin (cerca de 1600 d.C.) escreve: "o membro que é afetado por um sinal de menos será aumentado e o mesmo adicionado ao outro membro, isto sendo álgebra; os termos homogêneos e iguais serão então cancelados, isto sendo al-muqâbala".

Os mouros levaram a palavra al-jabr para a Espanha, um algebrista sendo um restaurador ou alguém que conserta ossos quebrados. Por isso, Miguel de Cervantes em Dom Quixote (II, cap. 15) é feita menção a "um algebrista que atendeu ao infeliz Sansão". Em certo tempo não era raro ver sobre a entrada de uma barbearia as palavras "Algebrista y Sangrador" (Smith, Vol. 2, páginas 389-90).

O uso mais antigo da palavra álgebra no inglês em seu sentido matemático foi por Robert Recorde no The Pathwaie to Knowledge ("O Caminho para o Conhecimento") em 1551: "também a regra da falsa posição, que traz exemplos não somente comuns, mas alguns pertinentes à regra da Álgebra".

"Álgebras" (no plural) aparece em 1849 no Trigonometry and Double Algebra ("Trigonometria e Dupla Álgebra") de Augustus de Morgan:

É mais importante que o estudante tenha em mente que, com uma exceção, nenhuma palavra ou sinal de aritmética ou álgebra tem um átomo de significado ao longo deste capítulo, cujo objeto são os símbolos, e suas leis de combinação, dando uma álgebra simbólica (página 92) a qual pode daqui em diante se tornar a gramática de cem álgebras significativas e distintas. [Coleção de Matemática Histórica da Universidade de Michigan].

A expressão "uma álgebra" também é encontrada em 1849 no Trigonometry and Double Algebra ("Trigonometria e Dupla Álgebra") de Augustus de Morgan:

A linguagem ordinária tem métodos de assinalamento instantâneo de significado a termos contraditórios: e assim ela tem analogias mais fortes com uma álgebra (se houvesse uma tal coisa) na qual estão pré-organizadas regras para explicar novos símbolos contraditórios à medida que surgem, do que em uma [álgebra] na qual uma única instância deles demanda uma imediata revisão de todo o dicionário. [Coleção de Matemática Histórica da Universidade de Michigan].

Começou a ser usada na Europa para designar os sistemas de equações com uma ou mais incógnitas a partir do século XI.

Notação algébrica[editar | editar código-fonte]

A notação algébrica utilizada hoje normalmente por nós começou com François Viète[4] e foi configurada na forma atual por René Descartes.[5]

Antes disso, os processos para achar as raízes de equações dos babilônios, gregos, hindus, árabes e mesmo dos algebristas italianos do século XV eram formulados com palavras e às vezes até com versos (Índia).

Viète adotou vogais para representar as variáveis e incógnitas, e consoantes para representar as constantes[6] . Atualmente, constantes são representadas pelas primeiras letras do alfabeto e variáveis pelas finais (principalmente, mas não exclusivamente, x).

Álgebra elementar[editar | editar código-fonte]

A álgebra elementar é a forma mais básica de álgebra. É ensinada a quem presume-se ter pouco ou nenhum conhecimento formal de matemática além da aritmética. Em aritmética, temos apenas números e suas operações aritméticas, como +, −, × e ÷. Em álgebra, os números são frequentemente denotados por símbolos, como a, x ou y. Isso é útil porque:

  • Permite a formulação geral das leis aritméticas (tais como a + b = b + a para quaisquer a e b) e, portanto, é o primeiro passo para uma exploração sistemática das propriedades do sistema dos números reais.
  • Permite a referência a números "desconhecidos", a formulação de equações e o estudo das formas para as resolver. (Por exemplo, "encontrar um número x tal que 3x + 1 = 10" ou, indo um pouco mais longe, "encontrar um número x tal que ax+b=c"). Este passo leva à conclusão de que não é a natureza dos números específicos que permitem resolver a equação, mas sim a natureza das operações envolvidas.
  • Permite a formulação de relações funcionais. Por exemplo, "se vender x bilhetes, terá um lucro de 3x menos 10, ou seja: f(x) = 3x − 10, onde f é a função, e x é o número ao qual a função é aplicada.

Referências

  1. Benatti, Kléber. Álgebra- Definição. Ebah. Página visitada em 8 de fevereiro de 2012.
  2. Struik, Dirk J.. A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications, 1987.
  3. John Wallis, De algebra tractatus, historicus & practicus ... cum variis appendicibus ... Operum Mathematicorum volumen alterum (1693), p.4 [google books]
  4. François Viète. Só Matemática. Página visitada em 8 de fevereiro de 2012.
  5. Zuin, Elenice de Souza Lodron. Geometria Analítica: um Pouco de História e Noções Básicas. Pense Vestibular. Página visitada em 8 de fevereiro de 2012.
  6. The History of Algebra, Page Seven

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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