Raiz (matemática)

As cinco raízes complexas de $x^5=1+\sqrt{3}i$

Em matemática, uma raiz ou "zero" da função consiste em determinar os pontos de intersecção da função com o eixo das abscissas no plano cartesiano. A função $f$ é um elemento $x$ no domínio de $f$ tal que $f(x)=0$. Por exemplo, considere a função:

$f(x)=x^2-6x+9$

então $3$ é uma raiz de $f$, porque:

$f(3)=3^2-6$ × $3+9=0$

se a função envia números reais em números reais, os seus zeros estão onde o seu gráfico cruza o eixo de $x$. Se $P$ é uma função polinomial de uma variável e $a$ é uma raiz de $P$, então:

$P(x)=(x-a)^kQ(x)$

para algum número natural $k$ e alguma função polinomial $Q(x)$ tal que $Q(a)$ ≠ $0$. Diz-se então que $a$ é uma raiz de multiplicidade $k$; se $k=1$, diz-se que $a$ é uma raiz simples. É frequente que se contem as raízes de uma função polinomial com as raízes de multiplicidade $k$ contarem como se fossem $k$ raízes; chama-se a isto contar as raízes com as respectivas multiplicidades. Considere-se, por exemplo, a função polinomial de R em R definida por:

$P(x)=4x^6+8x^5+x^4-5x^3-x^2+x$

como se tem:

$P(x)=4(x-1/2)^2(x+1)^3x$

o número de raízes de $P(x)$ contadas com as respectivas multiplicidades é igual a $6$ (a raiz $0$ conta como uma única raiz, a raiz $-1$ conta como duas raízes e a raiz $1/2$ como $3$).

A palavra raiz também pode referir-se a um número na forma $x^{1/n}$ com $n$ ∈ N, como a raiz quadrada ou outras raízes de ordem superior (raiz cúbica, raiz quarta, …).