Equação linear

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Diz-se em matemática que uma equação polinomial a n indeterminadas da forma

a_nX_n + a_{n-1}X_{n-1} + \cdots + a_1X_1 + a_0 = 0_A,

em que os coeficientes a_0, a_1, \ldots, a_n pertencem a um anel comutativo A e 0_A \in A é o nulo[1] do anel, é uma equação linear sobre A. De outro modo, fixado um polinômio p \in A[X_1, \ldots, X_n] de grau um,

p = 0_A

é uma equação linear.

Uma equação linear pode não vir expressa na forma mais simples acima, muito embora seja sempre possível exprimi-la assim. Por exemplo, expressões da forma p = a e p = q, em que p \in A[X_1, \ldots, X_n], q \in A[X_1, \ldots, X_m] e a \in A, são igualmente equações lineares; a primeira uma forma particular da segunda (tome para q o polinômio de grau 0 constante igual a a). Como p-a e p-q são polinômios, p - a = 0_A e p - q = 0_A são equações lineares reduzidas a forma mais simples.

Nem sempre uma equação linear sobre A possuirá solução sobre A, mas sempre possuirá solução em alguma extensão de A. Por exemplo, se A é um subanel de \mathbb{R}, toda equação linear sobre A possuirá solução em \mathbb{R}. Na verdade, para ser mais preciso, se A é um subanel de um subcorpo \mathbb{K} de \mathbb{R}, então toda equação linear sobre A possui solução em \mathbb{K}.

Equações lineares com coeficientes reais são de grande importância em física, engenharia e matemática aplicada. Muitos problemas modelados por equações não-lineares podem ser aproximados localmente[2] por equações lineares. Realmente, essas áreas valem-se largamente do emprego de variedades, objetos geométricos que podem ser aproximados, localmente, por espaços euclideanos, objetos geométricos descritos corretamente por equações lineares[3] .

Equação linear homogênea[editar | editar código-fonte]

Se p \in A[X_1, \ldots, X_n] é um polinômio homogêneo de grau um, diz-se que p = 0_A é uma equação linear homogênea. Neste caso, como o polinômio p = a_nX_n + \cdots + a_1X_1 + a_0 é homogêneo, tem-se

a_n(tX_n) + \cdots + a_1(tX_1) + a_0 = t(a_nX_n + \cdots + a_1X_1 + a_0)

para qualquer t escolhido num subanel ou numa extensão de A. Em particular, pode-se escolher t = 0_A. Assim, no caso em que p é homogêneo, obrigatoriamente a_0 = 0_A.

Sem dificuldade, verifica-se que

(X_1, \ldots, X_n) = (0_A, \ldots, 0_A)

é sempre uma solução de uma equação linear homogênea a_nX_n + \cdots + a_1X_1 = 0_A qualquer. Por outro lado, se (X_1, \ldots, X_n) = (0_A, \ldots, 0_A) é solução da equação linear a_nX_n + \cdots + a_1X_1 + a_0 = 0_A, então

a_n0_A + \cdots + a_10_A + a_0 = a_0 = 0_A,

ou seja, a equação linear é homogênea. Segue assim a caracterização de equações lineares homogêneas:

Uma equação linear a_nX_n + \cdots + a_1X_1 + a_0 = 0_A tem o coeficiente a_0 = 0_A, ou seja, é homogênea, se e somente se (X_1, \ldots, X_n) = (0_A, \ldots, 0_A) é uma solução.

Uma equação linear homogênea a_nX_n + \cdots + a_1X_1 = 0_A tem as duas seguintes propriedades:

  1. Se (b_1, \ldots, b_n) e (c_1, \ldots, c_n) são soluções da equação, então (b_1 + c_1, \ldots, b_n + c_n) também é uma solução da equação[4] ; e
  2. Se (b_1, \ldots, b_n) é uma solução da equação e c uma constante, então (cb_1, \ldots, cb_n) também é uma solução da equação[5] .

Ademais, dada uma equação linear qualquer a_nX_n + \cdots + a_1X_1 + a_0 = 0_A, se (b_1, \ldots, b_n) é uma solução particular da equação, desde que (c_1, \ldots, c_n) seja solução da equação linear homogênea associada a_nX_n + \cdots + a_1X_1 = 0_A, tem-se que (b_1 + c_1, \ldots, b_n + c_n) é também uma solução da equação[6] .

Equação linear a uma indeterminada[editar | editar código-fonte]

No caso de uma única indeterminada, uma equação linear assume a seguinte forma

aX + b = 0_A,

com a, b \in A e a \neq 0_A, sendo também normalmente chamada de equação do primeiro grau.

Adicionando o oposto aditivo de b a ambos os membros da equação, usando que a adição é associativa, que adição de um elemento com o seu oposto aditivo resulta no neutro aditivo e que a adição de um elemento qualquer com o neutro aditivo resulta no próprio elemento, obtém-se

aX = -b.

Se A é um anel com identidade e a um elemento invertível do anel, então multiplicando ambos os membros da equação acima por a^{-1} ganha-se X = -a^{-1}b, ou seja, a equação linear possui uma e só uma solução. Assim, nos anéis com divisão as equações lineares com uma única indeterminada possuem sempre uma única solução.

A condição de que o anel tenha unidade e o coeficiente a tenha inverso é suficiente, mas não necessária. Por exemplo, qualquer equação linear sobre o anel dos inteiros pares tem solução (sempre no próprio anel), muito embora o anel não possua elementos invertíveis nem elemento unidade.

Se uma equação aX + b = 0_A possui solução no anel A, desde que a não seja um divisor de 0_A, a solução da equação é única. Realmente, se a não é divisor de zero no anel A e c_1 e c_2 são duas soluções da equação aX + b = 0_A, então (ac_1 + b) - (ac_2 + b) = 0_A - 0_A implica a(c_1 - c_2) = 0_A, ou seja, necessariamente c_1 - c_2 = 0_A e, assim, c_1 = c_2.

A falta de unicidade de solução no anel A para uma equação aX + b = 0_A, em que a \neq 0_A e a é divisor de zero, fica clara quando se escolhe um q \in A tal que aq = 0_A. Assim, se c é solução da equação, tem-se a(q + c) + b = (aq + ac) + b = 0_A + (ac + b) = 0_A, ou seja, neste caso q + c também é solução da equação.

Exemplos 
  • A equação 2X + 3 = 0 não tem solução no anel dos inteiros, mas tem solução, única, no anel dos racionais (-\frac{3}{2} \in \mathbb{Q} é a única solução da equação);
  • \frac{\sqrt{2}}{3} \in \mathbb{R} é a única solução da equação 3X - \sqrt{2} = 0;
  • 82 \in 2\mathbb{Z} é a única solução da equação linear 4X - 328 = 0. É solução porque 4\times82 - 328 = 328 - 328 = 0 e é única porque o anel 2\mathbb{Z} não possui divisores de 0;
  • A equação linear \overline{3}X + \overline{3} = \overline{0} em \mathbb{Z}_{9} tem solução, mas não solução única. Por um lado, note que \overline{3}\times\overline{2} + \overline{3} = \overline{6} + \overline{3} = \overline{9} = \overline{0}, ou seja, \overline{2} é solução da equação. Por outro, \overline{3}\times\overline{3} = \overline{9} = \overline{0}, isto é, \overline{3} é divisor de zero em \mathbb{Z}_9 e, assim, \overline{3} + \overline{2} = \overline{5} também é uma solução da equação.

Equação linear a duas ou mais indeterminadas[editar | editar código-fonte]

Uma equação linear a duas ou mais indeterminadas, diferentemente de uma equação linear a uma indeterminada, que possui no máximo uma solução, pode ter um número infinito de soluções. Na verdade, sempre que uma equação linear a duas ou mais indeterminadas possuir uma solução sobre um anel infinito, possuirá infinitas soluções nesse anel. Por exemplo, uma equação diofantina linear pode ou não ter solução, mas se tiver, terá infinitas soluções (decorrência de que o anel dos inteiros \mathbb{Z} é infinito).

Equações sobre corpos[editar | editar código-fonte]

Uma equação linear a_nX_n + \cdots + a_1X_1 + a_0 = 0 sobre um corpo \mathbb{K} sempre tem solução e todas as suas soluções são n-uplas de elementos do corpo.

Por exemplo, o coeficiente a_n\neq0 (e todos os outros não-nulos) de a_nX_n + \cdots + a_1X_1 + a_0 = 0 possui inverso em \mathbb{K}, de modo que

a_nX_n + \cdots + a_1X_1 + a_0 = 0 \Longleftrightarrow X_n = -a_n^{-1}a_{n-1}X_{n-1} - \cdots -a_n^{-1}a_1X_1 - a_n^{-1}a_0.

Portanto, \{(t_1, \ldots, t_{n-1}, -a_n^{-1}a_{n-1}t_{n-1} - \cdots -a_n^{-1}a_1t_1 - a_n^{-1}a_0) : t_1, \ldots, t_{n-1} \in \mathbb{K}\} \subseteq \mathbb{K}^n é o conjunto-solução da equação.

Na descrição do conjunto-solução, escreveu-se a n-ésima indeterminada em função das n-1 primeiras e variou-se estas arbitrariamente para obter todas as soluções da equação. Contudo, poder-se-ia ter escrito qualquer uma das n indeterminadas em função das demais; obteria-se assim o mesmo conjunto-solução.

Equações lineares reais e espaços euclideanos[editar | editar código-fonte]

Dados vetores \mathbf{a} = (a_1, \ldots, a_n) e \mathbf{b} = (b_1, \ldots, b_n) do espaço vetorial euclideano n-dimensional \mathbb{R}^n, tem-se, da definição de produto interno usual,

a_1b_1 + \cdots + a_nb_n - \langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle = 0.

Assim, fixado um real \alpha, o conjunto-solução da equação linear sobre \mathbb{R} dada por  a_1X_1 + \cdots + a_nX_n - \alpha = 0,

\{(X_1, \ldots, X_n) \in \mathbb{R}^n : a_1X_1 + \cdots + a_nX_n - \alpha = 0\},

é o conjunto de todos os vetores \mathbf{x} = (X_1, \ldots, X_n) \in \mathbb{R}^n tais que \langle\mathbf{a}, \mathbf{x}\rangle = \alpha. Em particular, o conjunto-solução da equação linear homogênea a_1X_1 + \cdots + a_nX_n = 0,

\{(X_1, \ldots, X_n) \in \mathbb{R}^n : a_1X_1 + \cdots + a_nX_n = 0\},

é o complemento ortogonal do subespaço vetorial gerado por \mathbf{a} = (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{R}^n, comummente denotado por \mathbf{a}^\perp.

De forma equivalente, o conjunto-solução da equação a_1X_1 + \cdots + a_nX_n - \alpha = 0 é a imagem inversa f^{-1}(\alpha) em que f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} é o funcional linear definido por (X_1, \ldots, X_n) \mapsto a_1X_1 + \cdots + a_nX_n e, em particular, f^{-1}(0) = \mathbf{a}^\perp.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. ou neutro aditivo
  2. isto é, na vizinhança de um ponto
  3. Uma equação linear a duas variáveis é a equação de uma reta no plano euclideano, e uma equação linear a três variáveis é a equação de um plano no espaço euclideano. Em geral, uma equação linear a n variáveis é a equação de um hiperplano (subespaço n-1 dimensional) no espaço euclideano n-dimensional.
  4. basta ver que a_1(b_1 + c_1) + \cdots + a_n(b_n + c_n) = a_1b_1 + a_1c_1 + \cdots + a_nb_n + a_nc_n = (a_1b_1 + \cdots + a_nb_n) + (a_1c_1 + \cdots + a_nc_n) = 0_A + 0_A = 0_A
  5. basta ver que a_1(cb_1) + \cdots + a_n(cb_n) = c(a_1b_1 + \cdots + a_nc_n) = c0_A = 0_A
  6. basta ver que a_n(b_n + c_n) + \cdots + a_1(b_1 + c_1) + a_0 = a_nb_n + a_nc_n + \cdots + a_1b_1 + a_1c_1 + a_0 = (a_nb_n + \cdots + a_1b_1 + a_0) + (a_nc_n + \cdots + a_1c_1)

Referências[editar | editar código-fonte]

Question book.svg
Esta página ou se(c)ção não cita fontes fiáveis e independentes (desde dezembro de 2013). Por favor, adicione referências e insira-as no texto ou no rodapé, conforme o livro de estilo. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]