Congruência (álgebra)

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Dizemos que a é congruente a b modulo m se m|(a - b). Usamos como simbolo de a congruente a b modulo m :a \equiv b (mod\; m).

Breve história[editar | editar código-fonte]

Carl Friedrich Gauss foi o grande introdutor da congruência, ele começou a mostrar ao mundo a congruência a partir de um trabalho realizado em 1801, Disquisitiones Arithmeticae, quando tinha apenas 24 anos de idade. Várias ideias usadas na teoria dos números foram introduzidas neste trabalho, até mesmo o símbolo usado na congruência atualmente foi o que Gauss usou naquela época.

Propriedade da congruência[editar | editar código-fonte]

  • Se a \equiv b (mod\; m) então existe um inteiro k tal que a = b + km.
  • Sempre a \equiv a (mod\; m);
  • Se a \equiv b (mod\; m), então: b \equiv a (mod\; m);
  • Se a \equiv b (mod\; m) e b \equiv c (mod\; m), então: a \equiv c (mod\; m);
  • Se a \equiv b (mod\; m), então: (a + c) \equiv (b + c) (mod\; m), onde c é um inteiro;
  • Se a \equiv b (mod\; m), então: (a - c) \equiv (b - c) (mod\; m), onde c é um inteiro;
  • Se a \equiv b (mod\; m), então: a.c \equiv b.c (mod\; m), onde c é um inteiro;
  • Se a \equiv b (mod\; m) e c \equiv d (mod\; m), então: a + c \equiv b + d (mod\; m);
  • Se a \equiv b (mod\; m) e c \equiv d (mod\; m), então: a - c \equiv b - d (mod\; m);
  • Se a \equiv b (mod\; m) e c \equiv d (mod\; m), então: a.c \equiv b.d (mod\; m);
  • Se a.c \equiv b.c (mod\; m), então: a \equiv b (mod\; m/d), onde d é o máximo divisor comum de c e m.

Congruência linear[editar | editar código-fonte]

Chamemos de congruência linear em uma variável x uma congruência da forma: a.x \equiv b (mod\; m).

Propriedade da congruência linear[editar | editar código-fonte]

  • Tenhamos uma congruência a.x \equiv b (mod\; m) e seja d o MDC de a e m, então se d nao divide b, não possuimos nenhuma solução, mas, se d|b então temos extamente d soluções incongruentes modulo m.

Equação Diofantina[editar | editar código-fonte]

Uma equação diofantina é uma equação da forma \;ax + by = c. Seja \;d o MDC de \;a e \;b, se \;d não divide \;c então não teremos nenhuma solução inteira, mas, se \;d | c então existem infinitas soluções inteiras dadas pela forma: X = X_0 + (b/d)k e  Y = Y_0 - (a/d)k, onde X_0 e Y_0 são soluções particulares e \;k é qualquer inteiro.

Ver também[editar | editar código-fonte]