Função zeta de Riemann

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Função zeta de Riemann em um plano complexo

A função zeta de Riemann é uma função especial de variável complexa, definida para \mathrm{Re}(s)>1 pela série \zeta(s) = \sum_{k=1}^{\infty} k^{-s}.

Fora do conjunto dos números complexos com parte real maior do que a unidade a função de Riemann pode ser definida por continuação analítica da expressão anterior. O resultado é uma função meromorfa com um pólo em s=1 de resíduo 1.

Esta função é fundamental para a teoria dos números e em particular devido à hipótese de Riemann.

História[editar | editar código-fonte]

A primeira vez que esta função surgiu foi no trabalho de Euler, que, ao estudar a distribuição dos números primos, mostrou que a série:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_n}

era uma série divergente (o que, como corolário, é mais uma prova de que existem infinitos números primos).1

A prova de Euler se baseou na identidade:

\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} = \prod_p (1 + p^{-s} + p^{-2s} + \ldots) = \prod_p (1 - p^{-s})^{-1}

em que o produto percorre todos os números primos.1

Euler e, mais tarde, Chebyshev, haviam usado esta identidade, respectivamente, para s igual a um e para s real. Riemann, em 1858, tratou s como uma variável complexa, e estudou a série:

\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}

por técnicas da teoria das funções analíticas. Esta série converge apenas em parte do plano complexo, mas define, por continuação analítica, uma função única para todos os números complexos,Nota 1 exceto para o polo em s = 1. Riemann usou a letra grega zeta para escrever esta função, e por causa disto ela é chamada função zeta de Riemann.2

Riemann anunciou várias propriedades importantes desta função, porém suas provas eram incompletas. Seu trabalho foi completado por Hadamard, em 1893, e por Mangoldt, em 1894.3

Zeros[editar | editar código-fonte]

Os zeros s = σ + i t desta função são de dois (ou três) tipos:

  • os zeros triviais, que são os valores de s que correspondem aos números pares negativos
  • os zeros localizados na linha crítica em que σ = 1/2
  • possíveis outros zeros, localizados na faixa crítica 0 < σ < 1

A hipótese de Riemann é de que todos os zeros da faixa crítica são aqueles em que σ = 1/2.4

Os três primeiros zeros na linha crítica da função correspondem a t1 = 14,1347, t2 = 21,0220 e t3 = 25,0109.4


Notas e referências

Notas

  1. Em análise complexa, a continuação analítica de uma função pode retornar uma função multivariada, por exemplo, \sqrt{.} é uma função que pode ser definida para valores complexos cuja parte real é maior que zero, mas sua continuação analítica para valores cuja parte real é negativa não é única, ou seja, dependendo do caminho que se tome, pode ser que \sqrt{-1} seja i ou -i.

Referências

  1. a b Albert Edward Ingham, The Distribution of Prime Numbers (1932), Introduction, p.2 [google books]
  2. Albert Edward Ingham, The Distribution of Prime Numbers (1932), Introduction, p.4
  3. Albert Edward Ingham, The Distribution of Prime Numbers (1932), Introduction, p.5
  4. a b Richard P. Brent, Computation of the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip (1978). Computer Science Department. Paper 2376. [em linha]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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