Teorema de Euler

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Devido à numerosa produção teórica de Leonhard Euler, a expressão Teorema de Euler pode ser aplicada a um grande número de teoremas matemáticos e físicos:

  • O Teorema do Deslocamento de Euler, ou Teorema da Rotação de Euler, em Mecânica dos Corpos Rígidos
  • O Teorema da Distribuição de Euler, em Geometria
  • O Teorema do Tociente, ou Teorema de Fermat-Euler, em Teoria dos Números
  • O Teorema de Euler em Trigonometria
  • O Teorema de Euler sobre as Diferenciais Exatas, em Cálculo

Teorema de Euler na Teoria dos Números (Teorema do Tociente)[editar | editar código-fonte]

Em teoria dos números, o Teorema de Euler (também conhecido como Teorema de Fermat-Euler) estabelece que se n é um inteiro positivo e a é um inteiro positivo co-primo de n então:

a^{\phi(n)} \equiv 1 (mod\;n)

A expressão

a \equiv b (mod\; n)

significa que a e b se encontram na mesma "classe de congruência" módulo n, ou seja, que ambos deixam o mesmo resto se os dividirmos por n, ou, o que é equivalente, a-b é um múltiplo de n.

Um facto importante sobre módulos de números primos é o pequeno teorema de Fermat: se p é um número primo e a é um qualquer inteiro, então

a ^p \equiv a (mod\;p)

Isto foi generalizado por Euler:

Para qualquer inteiro positivo n e qualquer inteiro a relativamente primo a n, tem-se: a^{\phi(n)} \equiv 1 (mod\;n), onde \phi(n) denota a função totiente de Euler que conta o número de inteiros entre 1 e n que sejam coprimos em relação a n.

É necessário assinalar que o teorema de Euler é uma consequência do teorema de Lagrange, aplicado ao caso do grupo das unidades de um anel \mathbb Z/n\mathbb Z.

O Teorema de Euler sobre as Diferenciais Exatas[editar | editar código-fonte]

Em cálculo, uma diferencial, expressa na forma canônica df = P(x,y) dx +  Q(x,y) dy, é dita exata se existe uma função  f(x,y) tal que:

P(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}
Q(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}

Mas

\frac{\partial P}{\partial y}\;=\;\frac{\partial^2 f}{\partial y\;\partial x}
\frac{\partial Q}{\partial x}\;=\;\frac{\partial^2 f}{\partial x\;\partial y}

então

\frac{\partial P}{\partial y}\;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}