Teorema de Euler

Devido à numerosa produção teórica de Leonhard Euler, a expressão Teorema de Euler pode ser aplicada a um grande número de teoremas matemáticos e físicos:

• O Teorema do Deslocamento de Euler, ou Teorema da Rotação de Euler, em Mecânica dos Corpos Rígidos
• O Teorema da Distribuição de Euler, em Geometria
• O Teorema do Tociente, ou Teorema de Fermat-Euler, em Teoria dos Números
• O Teorema de Euler em Trigonometria
• O Teorema de Euler sobre as Diferenciais Exatas, em Cálculo

Teorema de Euler na Teoria dos Números (Teorema do Tociente)

Em teoria dos números, o Teorema de Euler (também conhecido como Teorema de Fermat-Euler) estabelece que se n é um inteiro positivo e a é um inteiro positivo co-primo de n então:

$a^{\phi(n)} \equiv 1 (mod\;n)$

A expressão

$a \equiv b (mod\; n)$

significa que $a$ e $b$ se encontram na mesma "classe de congruência" módulo $n$, ou seja, que ambos deixam o mesmo resto se os dividirmos por $n$, ou, o que é equivalente, $a-b$ é um múltiplo de $n$.

Um facto importante sobre módulos de números primos é o pequeno teorema de Fermat: se $p$ é um número primo e $a$ é um qualquer inteiro, então

$a ^p \equiv a (mod\;p)$

Isto foi generalizado por Euler:

Para qualquer inteiro positivo $n$ e qualquer inteiro $a$ relativamente primo a $n$, tem-se: $a^{\phi(n)} \equiv 1 (mod\;n)$, onde $\phi(n)$ denota a função totiente de Euler que conta o número de inteiros entre 1 e n que sejam coprimos em relação a n.

É necessário assinalar que o teorema de Euler é uma consequência do teorema de Lagrange, aplicado ao caso do grupo das unidades de um anel $\mathbb Z/n\mathbb Z$.

O Teorema de Euler sobre as Diferenciais Exatas

Em cálculo, uma diferencial, expressa na forma canônica $df = P(x,y) dx + Q(x,y) dy$, é dita exata se existe uma função $f(x,y)$ tal que:

$P(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}$ $Q(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}$

Mas

$\frac{\partial P}{\partial y}\;=\;\frac{\partial^2 f}{\partial y\;\partial x}$ $\frac{\partial Q}{\partial x}\;=\;\frac{\partial^2 f}{\partial x\;\partial y}$

então

$\frac{\partial P}{\partial y}\;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}$