Teorema de Lagrange (teoria dos grupos)

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O Teorema de Lagrange, aplicado na teoria dos grupos, é um teorema que diz que se G é um grupo finito e H é subgrupo de G então a ordem (quantidade de elementos) de H divide a ordem de G. Provemos um resultado antes de partir para a demonstração do Teorema de Lagrange.

Teorema 0.1

Se \star é uma relação de equivalência em S então S=\bigcup[a], onde tal união é sobre um elemento de cada classe e onde [a]\neq[b] implica [a]\cap[b]=\emptyset. Ou seja, \star particiona S em classes de equivalência.

Demonstração

Seja a\in S. Note que a\in[a]. Portanto, é claro que S=\underset{a\in S}{\bigcup} [a].

Suponhamos que [a]\cap[b]\neq\emptyset e provemos que [a]=[b].

Seja c\in[a]\cap[b].

Então  c \star a e c\star b.

Por um lado \begin{cases} c \star a \Leftrightarrow a \star c \\ c \star b \end{cases} \Rightarrow a\star b \Rightarrow a \in [b]

Por outro \begin{cases} c \star a  \\ c \star b \Leftrightarrow b \star c\end{cases} \Rightarrow b\star a \Rightarrow b \in [a].

Seja x\in[a].

Então x\star a.

Mas a\star b, logo x\star b e assim x\in[b].

Portanto [a]\subset[b]. Seja y\in[b].

Então y\star b. Mas b\star a, logo y\star a e assim y\in[a].

Portanto [b]\subset[a].

E, dessa forma, [a]=[b]. \Box

Demonstração do Teorema de Lagrange[editar | editar código-fonte]

Seja \star a relação de equivalência definida por a\star b se ab^{-1}\in H.

Temos que [a]=Ha=\{ha~|~h\in H\}.

Seja k o número de classes de distintas de G - chamemo-as de Ha_1,\ldots,Ha_k.

Pelo Teorema 0.1, G=Ha_1\cup\ldots\cup Ha_k e sabemos que Ha_i\cap Ha_j=\emptyset, se i\neq j.

Provemos que qualquer Ha_i possui |H| elementos.

Seja \varphi:H\to Ha_i uma função tal que \psi(h)=ha_i,~\forall h \in H.

Provemos que \varphi é bijetora.

Note que \varphi é bijetora pois \varphi(h)=ha_i=h'a_i=\varphi(h') implica h=h' e é sobrejetora pela definição de Ha_i.

Potanto, \varphi é bijetora e, assim, |Ha_i|=|H|.

Como G=Ha_1\cup\ldots\cup Ha_k e tais Ha_i são disjuntos com |H| elementos, teremos que |G|=k|H|.

Portanto, |H| divide |G|. \Box

Ver também[editar | editar código-fonte]

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