O Teorema de Lagrange, aplicado na teoria dos grupos, é um teorema que diz que se 
é um grupo finito e 
é subgrupo de então a ordem (quantidade de elementos) de divide a ordem de 
Provemos um resultado antes de partir para a demonstração do Teorema de Lagrange.
Teorema 0.1
Se 
é uma relação de equivalência em 
então ![{\displaystyle S=\bigcup [a],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be31d1c3bc5dfeee7e0e567783be7b5d1feabe3)
onde tal união é sobre um elemento de cada classe e onde ![{\displaystyle [a]\neq [b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b313bd1cbb7ce96e790137dee3c1937591498e)
implica ![{\displaystyle [a]\cap [b]=\emptyset .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4df4ff765808c7556bc7e049b62876923174983)
Ou seja, particiona em classes de equivalência.
Demonstração
Seja 
Note que ![{\displaystyle a\in [a].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2cca5603be2509de02ab2493e5e200575045a84)
Portanto, é claro que ![{\displaystyle S={\underset {a\in S}{\bigcup }}[a].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dea0da363180a9c2d84c5b2bcdb0b01e05c4f19)
Suponhamos que ![{\displaystyle [a]\cap [b]\neq \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44cc5708a5f3d11a4d51a53bd969c0de6f3cc57f)
e provemos que ![{\displaystyle [a]=[b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cea6f461568f4e243b1bdc9d44a7ee9d63aa8da)
Seja ![{\displaystyle c\in [a]\cap [b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7badb7905f72e7142db195fd6b5af9f2352b050)
Então 
e 
Por um lado ![{\displaystyle {\begin{cases}c\star a\Leftrightarrow a\star c\\c\star b\end{cases}}\Rightarrow a\star b\Rightarrow a\in [b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da53565c43581f0305d2f9ddaa0537f1a8ccb10)
Por outro ![{\displaystyle {\begin{cases}c\star a\\c\star b\Leftrightarrow b\star c\end{cases}}\Rightarrow b\star a\Rightarrow b\in [a].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2f792c276264c979ab315dbb7651af2447e035)
Seja ![{\displaystyle x\in [a].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41886156bcd0fd1b29bf3100cabe31455a72e31d)
Então 
Mas 
logo 
e assim ![{\displaystyle x\in [b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec319200d2a40e1a1371448281c1e6ffc07602e5)
Portanto ![{\displaystyle [a]\subset [b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23b9209abb4f2e583f169560a79cb3bdd512c56)
Seja ![{\displaystyle y\in [b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874a5626f7e17ac34789cff12d6beee8c9c084c5)
Então 
Mas 
logo 
e assim ![{\displaystyle y\in [a].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65dbc1a17f35e7f05dcb01adecd1d711221682e3)
Portanto ![{\displaystyle [b]\subset [a].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334e52a1580ea9a6ad56e6d80a2fae99774975f8)
E, dessa forma, 
Seja a relação de equivalência definida por 
se 
Temos que ![{\displaystyle [a]=Ha=\{ha~|~h\in H\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab2b37b4678e692a2df3f6640029b9aa6257fa9b)
Seja 
o número de classes de distintas de - chamemo-as de 
Pelo Teorema 0.1, 
e sabemos que 
se 
Provemos que qualquer 
possui 
elementos.
Seja 
uma função tal que 
Provemos que 
é bijetora.
Note que é injetora pois 
implica 
e é sobrejetora pela definição de 
Potanto, é bijetora e, assim, 
Como e tais são disjuntos com elementos, teremos que 
Portanto, divide 
