Grupo finito

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Em matemática e álgebra abstrata, um grupo finito é um grupo cujo conjunto subjacente G tem finitamente muitos elementos. Durante o século XX, os matemáticos investigaram alguns aspectos da teoria dos grupos finitos em grande profundidade, especialmente a teoria localnota 1 dos grupos finitos, a teoria dos grupos solúveisnota 2 e grupos nilpotentes.

Imagem de um cubo de Rubik
As permutações de um Cubo de Rubik tem uma estrutura de grupo; o grupo é um conceito fundamental em álgebra abstrata e na Teoria dos grupos.

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A determinação completa da estrutura de todos os grupos finitos é demais para ter a esperança de encontrar todas struturas possíveis. No entanto, a classificação completa dos grupos finitos simples3 foi conseguida, o que significa que as bases de construção a partir do qual concluimos que todos os grupos finitos que podem ser construídos são agora conhecidos, uma vez que cada grupo finito tem uma composição de sérienota 3 .4


Durante a segunda metade do século XX, os matemáticos como Claude Chevalleynota 4 e Robert Steinbergnota 5 também aumentaram nossa compreensão de análogos finitos de grupos clássicos, e de outros grupos relacionados. Uma família das família de grupos é a dos grupos gerais lineares sobre corpo finito. Grupos finitos ocorrem frequentemente quando se considera a simetria dos objetos matemáticos ou físicos, quando esses objetos admitem apenas um número finito de estrutura de preservação de transformações.5 A teoria de grupos de Lie, que pode ser vista como lidando com simetria contínuanota 6 , é fortemente influenciada pelos grupos de Weyl associados. Estes são grupos finitos gerados por reflexões que atuam em um espaço euclidiano de dimensão finita. As propriedades de grupos finitos podem assim desempenhar um papel em matérias como física teórica e química.6 7

Notas

  1. Análise local tem pelo menos dois significados - ambos derivados da ideia de olhar para um problema, primeiro, em relação a cada número primo p e depois tentar integrar as informações obtidas em cada primo em uma imagem 'global'. Estas são formas da abordagem de localização.
  2. Grupo solucionável (ou grupo solúvel) é um grupo que pode ser construído a partir de grupos abelianos usando extensões. Isto é, um grupo solúvel é um grupo cuja série derivada termina no subgrupo trivial.
  3. composição de série fornece uma maneira para quebrar uma estrutura algébrica, tal como um grupo ou um módulo, em pedaços simples
  4. Claude Chevalley (11 de Fevereiro de 1909, Johannesburg - 28 de junho de 1984, Paris) foi um matemático francês que fez importantes contribuições à teoria dos números, geometria algébrica, teoria de classe de campo, teoria dos grupos finitos, e a teoria de grupos algébricos.
  5. Robert Steinberg (25 de maio de 1922 em Soroki, Bessarábia (atual Soroca, Moldávia) é um matemático da Universidade da Califórnia, Los Angeles, que inventou a representação de Steinberg, o grupo Steinberg na K-Teoria algébrica, e os grupos Steinberg na teoria de Lie que rendem grupos finitos simples sobre corpos finitos.
  6. Em matemática, simetria contínua é uma idéia intuitiva correspondente ao conceito de ver algumas simetrias como movimentos, ao contrário, por exemplo, de simetria de reflexão, que é a invariância sob uma espécie de "flip" de um estado para outro
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Referências

  1. Alonso, J. "Groups of Square-Free Order, an Algorithm." Math. Comput. 30, 632-637, 1976.
  2. Besche, H.-U. and Eick, B. "The Groups of Order at Most 2000." Elec. Res. Announcements Amer. Math. Soc. 7, 1-4, 2001b. [[1]]
  3. Miller, G. A. "Enumeration of Finite Groups." Math. Student 8, 109-111, 1940.
  4. GAP Group. "GAP--Groups, Algorithms, and Programming." [[2]]/.
  5. The Klein Four. "Finite Simple Group (of Order Two)." [[3]]
  6. Pedersen, J. "Groups of Small Order." [[4]]
  7. Royle, G. "Numbers of Small Groups." [[5]]
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