Subgrupo normal

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Em matemática e, em especial em teoria dos grupos, um subgrupo normal é um subgrupo que é preservado por conjugação, ou seja, \forall n \in N, g \in G, (g n g^{-1}) \in N\,. Em outras palavras, qualquer que seja o elemento x do grupo, os conjuntos x N e N x coincidem.

Se H é um subgrupo normal de G, então o quociente G/H admite uma estrutura de grupo, chamada de grupo quociente.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Se e é o elemento neutro do grupo G, então { e } e G são subgrupos normais de G.
  • A interseção de subgrupos normais é um subgrupo normal.
  • Seja S um subconjunto de G. Então a interseção (não-vazia) dos subgrupos normais de G que contém S é um subgrupo normal de G. Esse é o menor subgrupo normal que contém S.
  • Se o grupo é abeliano, então todo subgrupo é normal.
  • Um grupo é simples (ver artigo grupo simples) quando os únicos subgrupos normais são { e } e o próprio grupo. Os grupos (\mathbb{Z}_p, +)\, para p primo , são simples. Os grupos das permutações pares A_n\, para n \ge 5\, são simples. Esse fato é crucial para provar que a equação do quinto grau não é resolúvel por radicais.
  • Se \phi: G \to H\, é um homomorfismo de grupos, e e é o elemento neutro de H, então \phi^{-1}\{e\}\, é um subgrupo normal de G.Wiki letter w.svg Este artigo sobre matemática é mínimo. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.