Classe de equivalência

Em matemática, dado um conjunto $X \,$ com uma relação de equivalência $\sim\,$, a classe de equivalência de um elemento $a \in X \,$ é o subconjunto de todos os elementos de $X \,$ que são equivalentes a $a \,$.

• $[a] = \{ x \in X\quad |\quad x \sim a \}$

Exemplo

• Seja ~ a relação de equivalência definida no conjunto dos números inteiros $\mathbb{Z}\,$ por x ~ y quando x - y for um número par. Então $\ldots = [-3] = [-1] = [1] = [3] = \ldots\,$ é um classe de equivalência, o conjunto dos número ímpares. Analogamente, $\ldots = [-2] = [0] = [2] = \ldots\,$ é outra classe de equivalência.

Propriedades

• Se $x \sim y \Rightarrow [x] = [y]$;
• Classes de equivalência diferentes não tem elementos em comum: Se $[x] \ne [y]$ então $[x] \cap [y] = \varnothing$;
• Estas duas propriedades acima podem ser resumidas na seguinte: $\forall x, y \in X \ ([x] = [y] \ \lor \ [x] \cap [y] = \varnothing )$;
• A união de todas as classes de equivalência de um conjunto é igual ao próprio conjunto: X = $\cup_{\forall x\in X}$ [x].

Podemos reunir todas as classes de equivalência de X em um conjunto chamado conjunto quociente de X:

$X/\sim = \{ [x]\quad | \quad x \in X \}$

Note que, como para cada elemento $x \in X$ podemos associar um elemento de $[x] \in X/\sim$, existe uma função natural de $X \rightarrow X/\sim$. Esta função é chamada de projeção canônica.

Representantes

Uma questão importante com uma resposta não trivial é em que condições podemos escolher, para cada classe de equivalência, um único elemento, formando, assim, um conjunto de representantes?

Para ilustrar, vamos construir o conjunto de Vitali: ele parte da relação de equivalência em $\left[ 0 , 1 \right] \in \R\,$ definida por $x \sim y \leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}\,$, e tenta pegar um elemento de cada classe de equivalência. O problema é que não existe nenhuma regra explícita que permite fazer essa escolha.

Na teoria dos conjuntos, esse problema é resolvido pelo axioma da escolha, cuja forma equivalente, para classes de equivalência, é:

Seja $\sim\,$ uma relação de equivalência em um conjunto X. Então existe um conjunto $X_1 \subset X\,$ que contém um (e apenas um) elemento de cada classe de equivalência.