Classe de equivalência

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Em matemática, dado um conjunto X \, com uma relação de equivalência \sim\,, a classe de equivalência de um elemento a  \in  X \, é o subconjunto de todos os elementos de X \, que são equivalentes a a \,.

  • [a] = \{ x \in X\quad |\quad x \sim a \}

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Seja ~ a relação de equivalência definida no conjunto dos números inteiros \mathbb{Z}\, por x ~ y quando x - y for um número par. Então \ldots = [-3] = [-1] = [1] = [3] = \ldots\, é um classe de equivalência, o conjunto dos número ímpares. Analogamente, \ldots = [-2] = [0] = [2] = \ldots\, é outra classe de equivalência.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Se x \sim y \Rightarrow [x] = [y];
  • Classes de equivalência diferentes não tem elementos em comum: Se  [x] \ne [y] então  [x] \cap [y] = \varnothing ;
  • Estas duas propriedades acima podem ser resumidas na seguinte:  \forall x, y \in X \ ([x] = [y] \ \lor \ [x] \cap [y] = \varnothing ) ;
  • A união de todas as classes de equivalência de um conjunto é igual ao próprio conjunto: X = \cup_{\forall x\in X} [x].

Podemos reunir todas as classes de equivalência de X em um conjunto chamado conjunto quociente de X:

 X/\sim  = \{ [x]\quad | \quad x \in X \}

Note que, como para cada elemento  x \in X podemos associar um elemento de [x] \in X/\sim , existe uma função natural de X  \rightarrow X/\sim. Esta função é chamada de projeção canônica.

Representantes[editar | editar código-fonte]

Uma questão importante com uma resposta não trivial é em que condições podemos escolher, para cada classe de equivalência, um único elemento, formando, assim, um conjunto de representantes?

Para ilustrar, vamos construir o conjunto de Vitali: ele parte da relação de equivalência em \left[ 0 , 1 \right] \in \R\, definida por x \sim y \leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}\,, e tenta obter um elemento de cada classe de equivalência. O problema é que não existe nenhuma regra explícita que permite fazer essa escolha.

Na teoria dos conjuntos, esse problema é resolvido pelo axioma da escolha, cuja forma equivalente, para classes de equivalência, é:

Seja \sim\, uma relação de equivalência em um conjunto X. Então existe um conjunto X_1 \subset X\, que contém um (e apenas um) elemento de cada classe de equivalência.
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