Conjunto de Vitali

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Na matemática, o conjunto de Vitali é um subconjunto dos números reais, que pode ser construído, mas cuja existência é consequência do axioma da escolha, e que serve como contra-exemplo para várias propriedades ou como bloco construtor de vários paradoxos.

Em resumo, ele é um conjunto de números reais tal que qualquer número real é a soma de um único elemento dele e um único número racional.

Construção[editar | editar código-fonte]

Seja x \sim y\, a relação em \left [0, 1 \right ] \subset \R\, definida por x \sim y \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}\,. Como essa relação é de equivalência, podemos escolher (e nesse ponto estamos conjurando o axioma da escolha) um representante de cada classe de equivalência. O Conjunto de Vitali é esse conjunto formado pelos representantes de cada classe de equivalência.

Aqui cabe uma observação: o axioma da escolha garante que esse conjunto existe, mas não garante que ele seja único; então devíamos dizer um (em vez de o) Conjunto de Vitali.


O conjunto de Vitali não é mensurável a Lebesgue[editar | editar código-fonte]

Denote por V\, um conjunto de Vitali e por \mu^*\, a medida exterior de Lebesgue.

Considere \{r_j\}_{j=1}^{\infty}\, uma enumeração para [-1,1]\cap\mathbb{Q}\, e construa o conjunto:

S=\bigcup_{j=1}^{\infty}(V+r_j)\,, onde:
V+r_j=\{x+r_j:x\in V\}\,

Vamos mostrar agora as inclusões:

[0,1]\subseteq S\subseteq [-1,2]\,

Da forma como foi construído o conjunto, temos:

V\subseteq [0,1]\,

Então, se x\in V\, e r_j \in [-1,1]\,, vale x+r_j \in [-1,2]\,.


Agora, seja x\in[0,1]\,. Então, existe y\in V\, tal que x \sim y\,, ou seja, x-y=r,\, r\in \mathbb{Q}\,.

Como x,y\in[0,1]\,, temos que r\in [-1,1] \, e r=r_j\, para algum j\,. Logo, x\in S\,.


Vamos mostrar agora que os conjuntos V+r_j\, são disjuntos. Para tal, considere um elemento x\, na intersecção de dois destes conjuntos:

x\in \left(V+r_i\right)\cap\left(V+r_j\right)\,

Então:

x=y+r_i = z+r_j\, com y,z\in V\,

Logo:

y-z = r_j-r_i\in \mathbb{Q}\Longrightarrow y \sim z\,

Como o conjunto de Vitali foi construído tomando apenas um elemento de cada classe de equivalência, y=z\,, o que implica r_i=r_j\, e, portanto, i=j\,.

Finalmente, podemos provar que V\, não é mensurável. Partimos da estimativa:

\mu([0,1])\le \mu^*(S)\le \mu([-1,2])\,
1\le \mu^*\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}(V+r_j)\right)\le 3\,

Para terminar o resultado considere V\, mensurável e observe que a medida de Lebesgue é \sigma-aditiva e invariante por translações. O que nos leva à seguinte expressão:

1\le \sum_{j=1}^{\infty}\mu(V)\le 3\,

O somatório é finito apenas se \mu(V)\, for nulo, caso em que a soma é também nula e portanto inferior a 1.