Conjunto de Vitali

Na matemática, o conjunto de Vitali é um subconjunto dos números reais, que não pode ser construído, mas cuja existência é consequência do axioma da escolha, e que serve como contra-exemplo para várias propriedades ou como bloco construtor de vários paradoxos.

Em resumo, ele é um conjunto de números reais tal que qualquer número real é a soma de um único elemento dele e um único número racional.

Construção

Seja $x \sim y\,$ a relação em $\left [0, 1 \right ] \subset \R\,$ definida por $x \sim y \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}\,$. Como essa relação é de equivalência, podemos escolher (e nesse ponto estamos conjurando o axioma da escolha) um representante de cada classe de equivalência. O Conjunto de Vitali é esse conjunto formado pelos representantes de cada classe de equivalência.

Aqui cabe uma observação: o axioma da escolha garante que esse conjunto existe, mas não garante que ele seja único; então devíamos dizer um (em vez de o) Conjunto de Vitali.

O conjunto de Vitali não é mensurável a Lebesgue

Denote por $V\,$ um conjunto de Vitali e por $\mu^*\,$ a medida exterior de Lebesgue.

Considere $\{r_j\}_{j=1}^{\infty}\,$ uma enumeração para $[-1,1]\cap\mathbb{Q}\,$ e construa o conjunto:

$S=\bigcup_{j=1}^{\infty}(V+r_j)\,$, onde:

$V+r_j=\{x+r_j:x\in V\}\,$

Vamos mostrar agora as inclusões:

$[0,1]\subseteq S\subseteq [-1,2]\,$

Da forma como foi construído o conjunto, temos:

$V\subseteq [0,1]\,$

Então se $x\in V\,$ e $r_j \in [-1,1]\,$, vale que $x+r_j \in [-1,2]\,$

Agora seja $x\in[0,1]\,$ então, da construção do conjunto:

$x=y+r\,$, onde $x\in V\,$ e $r\in \mathbb{Q}\,$

Agora, $r=y-x, x,y\in[0,1]\Longrightarrow r\in [-1,1] \,$ Como $r\in\mathbb{Q}\,$, $r=r_j\,$ para algum $j\,$ e as inclusões estão estabelecidas.

Vamos mostrar agora que os conjuntos $V+r_j\,$ são disjuntos, para tal considere um elemento $x\,$ na intersecção de dois destes conjuntos:

$x\in \left(V+r_i\right)\cap\left(V+r_j\right)\,$

Então:

$x=y+r_i = z+r_j\,$ com $y,z\in V\,$

Logo:

$y-z = r_j-r_i\in \mathbb{Q}\Longrightarrow y \sim z\,$

Como o conjunto de Vitali foi construído tomando apenas um elemento de cada classe de equivalência, $y=z\,$, o que implica $r_i=r_j\,$ e, portanto, $i=j\,$.

Finalmente podemos provar que $V\,$ não é mensurável. Partimos da estimativa:

$\mu([0,1])\le \mu^*(S)\le \mu([-1,2])\,$

$1\le \mu^*\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}(V+r_j)\right)\le 3\,$

Para terminar o resultado considere $V\,$ mensurável e observe que a medida de Lebesgue é $\sigma$-aditiva e invariante por translações. O que nos leva a seguinte expressão:

$1\le \sum_{j=1}^{\infty}\mu(V)\le 3\,$

O somatório é finito apenas se $\mu(V)\,$ for nulo, caso que a soma é também nula e portante inferior a 1.