Medida de Lebesgue

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Em matemática, a medida de Lebesgue é a generalização padrão do conceitos de comprimento na reta, área no plano e volume no espaço. A medida de Lebesgue está definida para uma ampla família de subconjuntos do \mathbb{R}^n\,. Esta família é na realidade uma sigma-álgebra e contém os conjuntos abertos e conjuntos fechados.

Nomenclatura e propriedades[editar | editar código-fonte]

A medida de Lebesgue em \mathbb{R}^n\, é uma função \mu:\mathfrak{L}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R}^+. A família \mathfrak{L}(\mathbb{R}^n)\, é compostas por subconjuntos de \mathbb{R}^n que são chamados de conjuntos mensuráveis à Lebesgue ou conjuntos Lebesgue mensuráveis. Possui as seguintes propriedades:

  • Seja I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times\ldots\times [a_n,b_n],~~a_i\leq b_i\,, então I\in\mathfrak{L}(\mathbb{R}^n)\, e:
\mu(I)=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\ldots (b_n-a_n)\,
  • Em especial:
\mu(\emptyset)=0\,
  • Se E_j\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^n)\, então \bigcup_{j=1}^{\infty}E_j\in\mathfrak{L}(\mathbb{R}^n)\, e, ainda:
\mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j\right)\leq \sum_{j=1}^{\infty}\mu(E_j), onde a igualdade ocorre se os conjuntos E_j\, forem disjuntos dois a dois.
  • Se E_j\in \mathfrak{L}(\mathbb{R}^n)\, então \bigcap_{j=1}^{\infty}E_j\in\mathfrak{L}(\mathbb{R}^n)\,.
  • Se A\subseteq B\, e \mu(B)=0\, então A\, é mensurável e tem medida zero.
  • É invariante por translação, ou seja, se A\, é mensurável e A_\lambda\, é definido como A_\lambda=\{x+\lambda:x\in A\}\, então A_\lambda\, é mensurável e :
\mu(A)=\mu(A_\lambda)\,
\mu(TA)=|T|\mu(A)\,, onde |T|\, é o determinante da transformação.

Ver também[editar | editar código-fonte]