Determinante

Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

Definição

Seja M o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo K. Pode-se provar que existe uma única função f com as seguintes propriedades:

1. f é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
2. f(I_n) = 1, onde I_n é a matriz identidade.

Esta função chama-se determinante.

O determinante de uma matriz A representa-se por |A| ou por det(A).

Propriedades

1. O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;
2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(A^T);
3. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;
4. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
5. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;
6. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;
7. Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A);
8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;
9. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A;
10. Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);
11. Se A é invertível, então det(A⁻¹) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0;
12. Se A é ortogonal, então det(A) = ±1.

Determinante de uma matriz de ordem 1

O determinante da matriz $A$ de ordem $n = 1,$ é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem $M=[a_{11}]$ temos que o determinante é o número real $a_{11}:$

$det(M) = a_{11}.$

Por exemplo:

$A = ( 3 ),$ então $det(A) = 3.$

Determinante de matriz de ordem 2

A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinate da matriz formada pelos vetores que representam seus lados.

O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

$\hbox{det} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc.$

Por exemplo, o determinante da matriz $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ é dado por: $0.(-1) - 2.1 = 0 - 2 = -2.$

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.

Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:

$\det \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}=(aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + dbi).$

• Por exemplo:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 10\\ -1 & 1 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 3 & 10\\ -1 & 1 & 10 \\ 0 & 2 & 10 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 3\\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$

$\det(A) = ((1 . 1 . 10) + (3 . 10 . 0) + (10 . (-1) . 2)) - ((0 . 1 .10) + (2 . 10 . 1) + (10 . (-1) . 3))$

$= (10 + 0 + (-20)) - ((0 + 20 + (-30))$

$= 0$

Determinantes de ordem maior ou igual a 4

Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a 3 utiliza-se o teorema de Laplace, que estabelece o seguinte:

O determinante de uma matriz é igual à soma dos produtos dos elementos de uma qualquer linha ou coluna pelos respetivos complementos algébricos.

O complemento algébrico de um elemento $a_{i,j}$ de uma matriz é o número $A_{i,j} = (-1)^{i+j}\cdot\ MC_{i,j},$ sendo $MC_{i,j}$ o determinante da matriz que se obtém eliminando da matriz original a linha i e a coluna j.

Na prática, isto equivale a reduzir o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n ao cálculo de determinantes de matrizes de ordem n-1. O Teorema de Laplace pode ser aplicado as vezes que forem necessárias até obter matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais facilmente calculado através da regra de Sarrus.

A escolha da linha ou coluna da matriz a que se aplica este processo é indiferente, contudo, para maior simplicidade dos cálculos, convém escolher a linha ou coluna que contiver mais zeros.

Exemplo

Seja a matriz

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{pmatrix}$

Desenvolvendo o determinante pela primeira linha obtemos:

$\det A = a_{11} . (-1)^{1+1} . \det A_{-1,-1} +$

$a_{12} . (-1)^{1+2} . det A_{-1,-2} +$

$a_{13} . (-1)^{1+3} . det A_{-1,-3} +$

$a_{14} . (-1)^{1+4} . det A_{-1,-4},$

onde A_−i,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Retorna-se ao cálculo de quatro determinantes de matrizes de terceira ordem.

Então definimos o determinante de ordem n desenvolvido pela i-ésima linha:

$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ : & : & :: & :\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \ldots & a_{n-1,n}\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}$$= \sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} \cdot det A_{-i,-j}.$

Matrizes $n$ por $n$

O determinante de uma matriz de tamanho arbitrário pode ser encontrado pela fórmula de Leibniz para determinante.

A fórmula de Leibniz para determinante de uma matriz A, $n$ por $n$ é

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma_i}.$

Cálculo de determinantes por triangularização

Tendo em vista a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal (propriedade 5), a ideia é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a triangularizá-lo. Para isso devemos observar os efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado:

• Permutar linhas troca o sinal do determinante (propriedade 7);
• Multiplicar uma linha por um número real $\lambda$ não nulo, multiplica o determinante por $\lambda$ (propriedade 6);
• Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante (propriedade 9).

Para triangularizar um determinante basta atentar para as possíveis compensações provocadas pelas operações elementares utilizadas e não há uma única maneira de realizar esse processo. O método é algorítmico, constituído de passos simples: a cada coluna, da primeira à penultima, deve-se obter zeros nas posições abaixo da diagonal principal. Veja o exemplo a seguir:

$\begin{vmatrix} 2 & -4 & 8\\ 5 & 4 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

$L_1 \leftarrow \frac{1}{2} L_1$

$= 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 5 & 4 & 6 \\ -3 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

$L_{2} \leftarrow L_{2} - 5.L_{1} \land L_{3} \leftarrow L_{3} + 3.L_{1}$

$= 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 14 & -14 \\ 0 & -6 & 14 \end{vmatrix}$

$L_{2} \leftarrow \frac{1}{14} =$

$2 \cdot 14 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -6 & 14 \end{vmatrix}$

$L_{3} \leftarrow L_{3} + 6.L_{2}$

$= 2 \cdot 14 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4\\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 8 \end{vmatrix}$ $= 2 \cdot 14 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 8 = 224$

Referências gerais

• Callioli, Carlos; Domingues, Hygino Hugueros; Costa, Roberto C. F. (1990). Álgebra Linear e Aplicações. Editora Atual. 7ª edição. ISBN 8570562977. Prof. PAULO CESAR FILHO.

Ver também

• Matriz